§16-2 單調路線的四個算例
遞迴定義的數列沒有通項公式可看，要怎麼證它單調又有界？知道極限存在之後，又要怎麼把它的值解出來？而極限如果根本寫不成有限的表達式呢？
四個算例（16.3）
單調收斂定理只回答「收不收斂」，不直接交出極限的數值。可是一旦知道極限存在，算它的值往往就有第二條路可走——把遞迴關係本身拿去取極限。這一篇的四個例子，前三個示範這條路，最後一個示範「知道存在」本身就已經很有價值。
例 1重看 (1/n)：先斷定收斂，再用子數列逼出極限
先確定收斂，再求值。
lim (1/n) = 0，全程沒有出現 ε。這個手法的要害在次序：第三步的 lim X′ = (1/2)x 用到了「x 存在」，所以非得先由 16.2 確定收斂不可。對一個還不知道收不收斂的數列列方程式，得到的等式沒有意義——後面兩例會再看到同一個陷阱。
例 2遞迴數列 y₁ = 1、yₙ₊₁ = (2yₙ + 3)/4
沒有通項公式，看不出極限。這正是單調收斂定理的主場。
先證單調遞增且上有界，再求極限。
lim Y = 3/2。數值核對：y₁, ⋯, y₅ = 1, 1.25, 1.375, 1.4375, 1.46875，確實往 1.5 爬。注意上界取 2 只是夠用，不必是最好的——真正的 sup 是 3/2，但證收斂時隨便一個上界都行。
這張圖在說例 2 的兩層論證各管什麼：藍點只升不降、始終停在虛線（上界 2）左側，這兩件事合起來由 16.1 判定「會停」；至於停在哪，圖上看不出來，得把遞迴式拿去取極限才解得出紅線的位置 3/2。
例 3遞迴數列 z₁ = 1、zₙ₊₁ = √(2zₙ)
同一套流程，但求值時多一個岔路：解出來的方程有兩個根，得排除一個。
證收斂，再求極限，並說明為什麼另一個根不算。
- 起步：z₁ = 1 < z₂ = √2 < 2。
- 歸納步：設 zₙ < zₙ₊₁ < 2，則 2zₙ < 2zₙ₊₁ < 4；開平方保序，得 zₙ₊₁ = √(2zₙ) < zₙ₊₂ = √(2zₙ₊₁) < √4 = 2。於是 Z 單調遞增、以 2 為上界，由 16.1 收斂。記 z = lim Z。
- 求值時避開根號：把遞迴式平方成 zₙ₊₁² = 2zₙ。左邊是數列 (zₙ₊₁) 與自己的乘積，由 15.6(a) 收斂到 z²；右邊由 15.6(b) 收斂到 2z。兩邊是同一條數列，極限唯一（14.5），故 z² = 2z。
- 解得 z = 0 或 z = 2。排除 0：數列遞增且 z₁ = 1，配上歸納步已得的上界，每項都困在 1 ≤ zₙ < 2 裡，也就是 |zₙ − 3/2| ≤ 1/2；由 15.8（整條數列住在同一顆閉球裡，極限跑不出去）得 |z − 3/2| ≤ 1/2，特別地 z ≥ 1。於是 z = 2。
lim Z = 2。數值核對：z₁, ⋯, z₅ ≈ 1, 1.414, 1.682, 1.834, 1.915。第三步刻意先平方再取極限，而不是直接對 √(2zₙ) 取極限——後者需要「根號與極限可以交換」這件事，而那要等到談連續函數時才有工具；平方之後用的全是 15.6 的四則，手上就有。
這張圖在說例 3 的最後一步在做什麼：方程 z² = 2z 交出兩個候選根 0 與 2，光靠方程分不出勝負。分勝負的是數列本身的位置——每一項都困在 [1, 2] 這顆閉球裡，而 15.8 保證極限跑不出同一顆球，於是灰色的 0 出局。
例 4uₙ = (1 + 1/n)ⁿ 收斂——極限就是數 e
這一例的估計只圈得出極限的位置，交不出它的數值。它示範了單調收斂定理最重要的用途：光是斷定「存在」，就足以把一個新的數合法地造出來。
用二項式展開證單調遞增與上有界。
- 展開：由二項式定理，uₙ = Σ 各項為 C(n, k)/n^k；把 n^k 除進二項式係數的分子，得 uₙ = 1 + 1 + (1/2!)(1 − 1/n) + (1/3!)(1 − 1/n)(1 − 2/n) + ⋯ + (1/n!)(1 − 1/n)⋯(1 − (n−1)/n)，共 n + 1 項。
- 單調：把 uₙ₊₁ 照同樣方式展開，共 n + 2 項。逐項比較——因為 1 − j/n < 1 − j/(n+1)，uₙ 的每一項都不超過 uₙ₊₁ 的對應項；而 uₙ₊₁ 還多出一個正的項。於是 uₙ < uₙ₊₁。
- 有界：每個括號 1 − j/n 都不超過 1，所以 uₙ ≤ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯ + 1/n!（n = 1 時兩邊都是 2，取等號；n ≥ 2 時嚴格小於）。再用 2^{k−1} ≤ k!（歸納法：k = 1 時兩邊皆 1；而 2^k = 2 · 2^{k−1} ≤ 2 · k! ≤ (k+1) · k! = (k+1)!），得 uₙ ≤ 1 + 1 + 1/2 + 1/2² + ⋯ + 1/2^{n−1} = 3 − 1/2^{n−1} < 3。
- 單調遞增且以 3 為上界，由 16.1 得 U 收斂，極限不超過 3。這個極限就是 e。
lim ((1 + 1/n)ⁿ) = e。數值：u₁ = 2、u₂ = 2.25、u₁₀ ≈ 2.5937、u₁₀₀ ≈ 2.7048、u₁₀₀₀ ≈ 2.7169，而 e ≈ 2.71828——爬得很慢。這裡沒有「先猜出答案再驗證」的選項：本節的估計只圈出極限落在 2 與 3 之間，並不指出它是誰——e 的身分正是由這條定理指定的。把 n 取得夠大，要多少位小數都算得出來，但這個過程沒有終點——而這絲毫不影響它是個確定的實數。（e 是無理數，這件事為真，但本節的工具證不出來，這裡只是提一句。）
這張圖在說例 4 的處境：藍線只升不降且整條壓在 3 之下（紅虛線），16.1 據此判定它收斂。可是它停在哪裡？灰虛線 e 的位置不是本節的估計算出來的，而是由這條定理指定出來的——存在性先到，數值只能一位一位逼近。
—— 第二階段到此結束 ——
四個算例把單調收斂定理的用法演完了：先證單調與有界斷定「會停」，再把遞迴式拿去取極限求出「停在哪」。兩個陷阱要記牢——對還不知道收不收斂的數列列方程式毫無意義（例 1）；方程的根可能不只一個，得靠數列自己的位置排除（例 3）。例 4 則示範了最深的一種用法：極限寫不出封閉形式時，存在性本身就是全部的收穫，數 e 就是這樣被造出來的。下一篇 §16-3 開始鬆綁「單調」這個限制。起來走走，這一篇的展開式很費眼力。