下面這組多項式做的正是這件事。它只讀取 f 在 n + 1 個等距點上的值，配上一組隨 x 移動的權重加起來。權重本身是 x 的多項式，所以加權平均也是多項式——而神奇的是，n 一大，這個加權平均就均勻收斂到 f。
上一篇的兩件工具都得先把定義域切段。這一次不必：一個公式、一整條區間。
24.6 DEFINITION
Let f have domain I = [0, 1] and values in ℝ. The n-th Bernstein polynomial for f is Bₙ(x) = Σ_{k=0}^{n} f(k/n) φ_k(x), where φ_k(x) = C(n, k) xᵏ (1 − x)^{n−k}.
Bₙ(x) 是 f 在 0, 1/n, 2/n, ⋯, 1 這 n + 1 個點上的值的加權平均，權重 φ_k 隨著 x 移動。每個 φ_k 在 I 上非負、在 x = k/n 處達到最大，而 k/n 離 x 遠時它很小——所以離 x 近的取樣點說話比較大聲。
Proof. (a) Put s = x and t = 1 − x in the binomial theorem; the left side is 1ⁿ = 1. (b) From k · C(n, k) = n · C(n−1, k−1) for k ≥ 1, Σ_k (k/n) φ_k(x) = x Σ_{j=0}^{n−1} C(n−1, j) xʲ (1 − x)^{n−1−j} = x, using (a) with n − 1 in place of n.
這一步的所求：把礙事的 k 消掉。那條約分寫開就是 k · n!/(k!(n−k)!) = n · (n−1)!/((k−1)!(n−k)!)——分子的 k 與分母 k! 的最後一個因子對消，剩下的形狀恰好是階數少一的二項式係數。之後把一個 x 提出來（因為指標從 k 換成 j = k − 1 時 xᵏ 少了一次），剩下的和就是 (a)。k = 0 那一項本來就是零，加不加都一樣，這一格是邊界簿記。
(c) Similarly k(k−1) · C(n, k) = n(n−1) · C(n−2, k−2) gives Σ_k k(k−1) φ_k(x) = n(n−1)x². Adding Σ_k k φ_k(x) = nx from (b) yields Σ_k k² φ_k(x) = n(n−1)x² + nx, and dividing by n² gives (c).
這一步的手法與上一步相同，只是約掉兩個因子而不是一個。為什麼先算 k(k−1) 而不是直接算 k²？因為只有連續兩個整數的乘積約得進階乘——k² 本身約不掉，所以先取 k(k−1)，再把差額 k 用 (b) 補回來。這是處理這類求和的標準手法。
(d) Expanding the square and using (a), (b), (c) in turn, Σ_k (x − k/n)² φ_k = x² − 2x · x + (1 − 1/n)x² + x/n, which simplifies to (x − x²)/n = x(1 − x)/n. On I the product x(1 − x) is at most ¼, giving the stated bound.
這張圖在說引理 (a) 與 (d) 合起來的意思：三組長條各是某個 n 之下的權重分布，每一組的面積總和都是一（(a)），可是 n 越大就越集中在中央（(d)）。中央的位置永遠對準當下的 x（(b)）。所以 Bₙ(x) 讀到的主要是 f 在 x 附近的值，而遠處的取樣點雖然在名單上，發言權隨 n 一起消失。
24.7 BERNSTEIN APPROXIMATION THEOREM
Take f continuous on I = [0, 1] with real values. Then the sequence (Bₙ) of Bernstein polynomials for f converges uniformly on I to f.
一條公式，一列多項式，均勻收斂到任何一個連續函數。這是建構式的結果——不只說「存在多項式逼得夠近」，還把那些多項式直接寫給你，而且只用到 f 在有限多個等距點上的值。
Given ε > 0, take n ≥ sup {δ(ε)^{−4}, M²/ε²} and split the sum. For those k with |x − k/n| < n^{−1/4} we have n^{−1/4} ≤ δ(ε), so each factor |f(x) − f(k/n)| is less than ε; hence this part is at most ε Σ_k φ_k(x) = ε.
這一步處理近處的取樣點。均勻連續在這裡是必要的：δ 得對所有x 通用，因為分界線 n^{−1/4} 是一個與 x 無關的數——若 δ 跟著位置變，就沒有一個 n 對整條區間都夠大。放大時再用一次 (a)：把近處那部分的權重放寬成全部的權重，總和是一，於是這一整堆的貢獻不超過 ε。
For those k with |x − k/n| ≥ n^{−1/4} we have 1 ≤ √n (x − k/n)², and |f(x) − f(k/n)| ≤ 2M. Hence by (d) this part is at most 2M √n Σ_k (x − k/n)² φ_k(x) ≤ 2M √n · 1/(4n) = M/(2√n), which is at most ε/2 because √n ≥ M/ε.