§18-2 五個等價刻畫
同一個數能用幾種方式說明它就是上極限？把數列逐段截斷後各取 sup，得到的那條新數列與它是什麼關係？而全體收斂子數列的極限所成的集合，它的 sup 會不會恰好也是它？
同一個數的五種說法
上一篇的定義好用在「一定存在」，不好用在「怎麼算」。要真的算出一條數列的上極限，總不能每次都把整條射線 V 描述一遍。
本篇的定理提供另外四條路。有兩條是操作型的：一條把問題化約成對每個 ε 數一數「超過某條線的項有幾個」，另一條把數列逐段截斷、每段各取一次 sup，得到一條新的數列。還有一條是辨識型的：把所有收斂子數列的極限收集起來，上極限就是這堆數裡最大的那個。五句話說的是同一個數，證明會繞成一個圈把它們串起來。
18.2 THEOREM
Let X = (xₙ) be a bounded sequence in ℝ and let x* ∈ ℝ. Write vₘ = sup {xₙ : n ≥ m}, and let L be the set of all v ∈ ℝ such that some subsequence of X converges to v. The following statements are equivalent.
(a) x* = lim sup (xₙ).
(b) For each ε > 0 there are at most finitely many n ∈ ℕ with x* + ε < xₙ, but infinitely many n ∈ ℕ with x* − ε < xₙ.
(c) x* = inf {vₘ : m ∈ ℕ}.
(d) x* = lim (vₘ).
(e) x* = sup L.
(a) x* = lim sup (xₙ).
(b) For each ε > 0 there are at most finitely many n ∈ ℕ with x* + ε < xₙ, but infinitely many n ∈ ℕ with x* − ε < xₙ.
(c) x* = inf {vₘ : m ∈ ℕ}.
(d) x* = lim (vₘ).
(e) x* = sup L.
(a) 是定義；(b) 是 ε 版的計數判準；(c)(d) 說它是「逐段取 sup」所得數列的 inf，也是那條數列的極限；(e) 說它是全體收斂子數列極限中最大的一個。
正例：§18-1 例 2 的三值循環數列，vₘ = 2 對每個 m 都成立，(c)(d) 給出 2；而 L = {0, 1, 2}，(e) 也給出 2。反例：(b) 的兩個條件缺一不可——以 X = ((−1)ⁿ) 與 x* = 5 為例，取 ε = 1：「只有有限多項超過 5 + ε」成立（一項也沒有），可是「無限多項超過 5 − ε = 4」不成立——(b) 要求每個 ε 都同時過兩關，一個 ε 失敗就出局，於是 5 不是上極限。
這張圖在說 18.2(b) 的兩個條件各管什麼：上面那條線把 x* 往上推 ε，超過它的項只有有限多個——所以 x* 不會被低估。下面那條線把 x* 往下推 ε，超過它的項有無限多個——所以 x* 也不會被高估。兩句話把 x* 夾在中間，而 ε 可以任意小。
PROOF
五句話要證等價，最省的走法是繞一個圈：(a) ⟹ (b) ⟹ (c) ⟹ (d) ⟹ (e) ⟹ (a)。這裡先走前兩步，下一段證明走剩下三步。全程只用到上一篇立好的一件事：V 是一條向右的射線——只要含一個數，就含它右邊全部。
證明計畫 · 由所求想起
(a) ⟹ (b)：所求是兩個計數結論。把 x* + ε 送進 V（因為它大於某個成員），把 x* − ε 擋在 V 外（因為它小於最大下界），兩件事各自翻譯回計數語言。
(b) ⟹ (c)：所求是一個等式。改證兩個不等式——用「有限多項超過上線」壓出上界，用「無限多項超過下線」撐出下界，再讓 ε 縮到零。
Proof. Assume (a), so x* = inf V, and let ε > 0. Since x* + ε exceeds the greatest lower bound of V, it is not a lower bound, so some v ∈ V satisfies v < x* + ε. Because V contains everything to the right of any of its members, x* + ε ∈ V; that is, at most finitely many n satisfy x* + ε < xₙ.
這一步的所求：把 x* + ε 塞進 V，因為 V 的入場條件講的就是「超過它的項只有有限多個」。用的是 inf 的定義（6.2：inf V 是最大的下界）——既然 x* + ε 比最大的下界還大，它就不可能是下界，所以 V 裡必定有成員比它小。找到這個成員之後，射線的形狀直接把 x* + ε 也拉進 V。舉例對照：X = ((−1)ⁿ) 時 V = [1, ∞)、x* = 1，取 ε = 0.3，1.3 確實在 V 裡，而超過 1.3 的項一個也沒有。
On the other hand x* − ε < x* = inf V, and every member of V is at least inf V. Hence x* − ε ∉ V, which by the definition of V says that infinitely many n satisfy x* − ε < xₙ. Therefore (a) implies (b).
這一步的所求：把 x* − ε 擋在 V 外面。理由比上一步短——inf V 是下界，所以 V 的每個成員都不小於它，而 x* − ε 嚴格小於它。關鍵在「不屬於 V」這句話怎麼翻譯：V 的入場條件是「至多有限多個 n 滿足 v < xₙ」，它的否定就是「有無限多個 n 滿足」——「有限」的否定是「無限」，中間沒有第三種可能，這一步用掉的正是這件事。
Now assume (b) and let ε > 0. The set F = {n ∈ ℕ : x* + ε < xₙ} is finite, so there is m₀ ∈ ℕ larger than every member of F. For n ≥ m₀ we then have xₙ ≤ x* + ε, so x* + ε is an upper bound of {xₙ : n ≥ m₀} and therefore inf {vₘ : m ∈ ℕ} ≤ v_{m₀} ≤ x* + ε.
這一步的所求：一個把 inf {vₘ} 從上方壓住的數。手法是把「有限多個例外」換成「一個起算點」：例外編號所成的集合 F 有限，因此有最大的一個，取 m₀ 比它還大，m₀ 之後就一個例外也不剩。這個換算後面還會再用一次，值得記住——有限多個例外與某個起算點之後全部乖乖聽話是同一句話（F 是空集時取 m₀ = 1）。有了它，x* + ε 就是第 m₀ 段的上界，而 v_{m₀} 是那一段的最小上界，於是 v_{m₀} ≤ x* + ε。
Conversely, fix m ∈ ℕ. Since infinitely many n satisfy x* − ε < xₙ, at least one such n is ≥ m; for it, x* − ε < xₙ ≤ vₘ. As m was arbitrary, x* − ε is a lower bound of {vₘ : m ∈ ℕ}, so x* − ε ≤ inf {vₘ : m ∈ ℕ}.
這一步的所求：一個把 inf {vₘ} 從下方撐住的數。「無限多項」在這裡的用法值得留意：無限多個編號不可能全部擠在 m 之前（m 之前只有有限多個位置），所以每一段裡都至少還有一個。既然每一段都有成員超過 x* − ε，每一段的 sup 也超過它，於是 x* − ε 擋在整族 vₘ 的下方。這一步把「無限多」這個條件用到了它唯一的用途上——保證每一段都不落空。
Combining, x* − ε ≤ inf {vₘ : m ∈ ℕ} ≤ x* + ε for every ε > 0. If the two numbers differed, taking ε smaller than half the difference would be a contradiction; hence inf {vₘ : m ∈ ℕ} = x* and (c) holds.
收尾是標準動作：一個數被夾在 x* ± ε 之間而 ε 可以任意小，它只能等於 x*。要把「任意小」講成證明，用 §6-3 的 6.7(b)（1/n 探底：任何正數之下都塞得進某個 1/n）：若兩數相差 d > 0，取 ε = 1/n < d/2 就與夾擠矛盾。
前兩步完成：定義的形式已經換成可以逐個 ε 檢查的計數條件，再換成逐段取 sup 的算式。
這張圖在說 (c) 與 (d) 為什麼是同一件事：紅色階梯的第 m 階是 vₘ = sup {xₙ : n ≥ m}。往右截掉一項，能選的東西只會變少，所以階梯只降不升；而它被整條數列的 inf 從下方擋著。單調又有界的數列必收斂，且極限恰是它的 inf——於是「取 inf」與「取極限」在這條階梯上是同一個動作。
PROOF
接著走完 (c) ⟹ (d) ⟹ (e) ⟹ (a)。最後一步是本節唯一用到 Bolzano-Weierstrass 定理的地方。
證明計畫 · 由所求想起
(c) ⟹ (d)：所求是把 inf 換成極限。先確認那條階梯單調遞減又有界，再直接引用單調收斂定理的遞減版。
(d) ⟹ (e)：所求是兩件事——沒有子數列的極限爬得過 x*，而且真的有一條子數列爬得到 x*。前者靠逐項比較後過極限，後者要遞迴挑出編號，每次貼著當段的 sup 挑。
(e) ⟹ (a)：所求回到 V。證 sup L + ε 進得了 V（反證：否則挑得出極限太大的子數列）、sup L − ε 進不了（因為有子數列收斂到比它大的數），再讓 ε 縮到零。
Proof. Assume (c). Since {xₙ : n ≥ m + 1} ⊆ {xₙ : n ≥ m}, the supremum over the smaller set is no larger, so v_{m+1} ≤ vₘ and the sequence (vₘ) is monotone decreasing. It is bounded below by inf {xₙ : n ∈ ℕ}. By 16.2 it converges, and its limit is inf {vₘ : m ∈ ℕ} = x*. Hence (c) implies (d).
這一步只是把 (c) 的 inf 換個名字。遞減的理由是集合越縮越小：第 m+1 段是第 m 段去掉一項，能選的東西變少，最小上界只會往下或不動。有界則來自 X 本身有界。兩個條件湊齊，§16-1 的 16.2（單調遞減且有界的數列收斂，極限恰是它的 inf）就把「取 inf」與「取極限」畫上等號。上一張圖的紅色階梯正是這條數列。
Assume (d) and let X′ = (x_{nₖ}) be any convergent subsequence, with limit v. Since nₖ ≥ k, the term x_{nₖ} belongs to {xₙ : n ≥ k} and hence x_{nₖ} ≤ v_k. Passing to the limit with 15.8 gives v ≤ x*. Thus x* is an upper bound of L.
這一步的所求：沒有任何子數列的極限超得過 x*。兩條數列逐項比大小，比完之後一起過極限——不等號會保留下來，這是 §15-4 的 15.8（非嚴格不等式過得了極限）。要能逐項比，得先知道 x_{nₖ} 落在第 k 段裡，也就是 nₖ ≥ k；這件事在 §15-1 的 15.2 證明裡已經立過（子數列的編號嚴格遞增，第 k 個編號至少是 k）。
For the reverse, construct a subsequence converging to x*. Put n₀ = 0. Given n_{k−1}, set mₖ = n_{k−1} + 1; since v_{mₖ} − 1/k is not an upper bound of {xₙ : n ≥ mₖ}, choose nₖ ≥ mₖ with v_{mₖ} − 1/k < x_{nₖ} ≤ v_{mₖ}.
這一步的所求：一條真的追得到 x* 的子數列。訣竅是「每一段都貼著它自己的 sup 挑一項」——第 k 次挑選時容許的誤差是 1/k，越後面挑得越準。挑得到的理由是 §6-1 的 6.3 左測：v_{mₖ} 是最小上界，任何比它小的數都攔不住整段，所以段內必有成員超過 v_{mₖ} − 1/k。而每次都從 mₖ = n_{k−1} + 1 這一段開始找，保證 nₖ ≥ n_{k−1} + 1 > n_{k−1}，編號嚴格遞增，交出來的確實是 15.1 意義下的子數列。具體走一次：m₁ = 1，所以第一次是在整條數列裡挑一項，使它與 v₁ 相差不到 1。
The indices mₖ are strictly increasing, so (v_{mₖ}) is a subsequence of (vₘ) and converges to x* by 15.2. Since |x_{nₖ} − v_{mₖ}| < 1/k, the difference tends to zero, and therefore x_{nₖ} → x*. So x* ∈ L, and together with the previous paragraph x* = sup L. Hence (d) implies (e).
把兩個部件相加就收工：x_{nₖ} = v_{mₖ} + (x_{nₖ} − v_{mₖ})，第一項由 15.2（收斂被每個子數列繼承）趨於 x*，第二項的絕對值被 1/k 壓住而趨於零，15.6(a) 的加法給出結論。至於 (v_{mₖ}) 為什麼是子數列——mₖ = n_{k−1} + 1 而 n_{k−1} 嚴格遞增，所以 mₖ 也嚴格遞增。x* 既是 L 的上界又屬於 L，它就是 L 的最大者，當然也是 sup。
Finally assume (e) and put w = sup L; note L ≠ ∅ because X is bounded and 16.4 supplies a convergent subsequence. Let ε > 0. If infinitely many n satisfied w + ε < xₙ, those terms would form a bounded subsequence, which by 16.4 has a convergent subsequence; its limit lies in L and is at least w + ε by 15.8, contradicting w = sup L. Hence w + ε ∈ V and lim sup X ≤ w + ε.
這一步的所求：把 w + ε 送進 V，走反證。假設超過 w + ε 的項有無限多個，把它們照編號順序排成一條子數列——它有界，§16-3 的 16.4（Bolzano-Weierstrass：有界數列必有收斂子數列）再從中挑出收斂的一條，極限不會小於 w + ε。而子數列的子數列仍是子數列（兩層嚴格遞增的編號合成起來仍嚴格遞增），所以那個極限屬於 L，卻比 L 的 sup 還大，矛盾。
Since w − ε < w = sup L, some ℓ ∈ L satisfies w − ε < ℓ. A subsequence converging to ℓ has all but finitely many terms above w − ε, so infinitely many n satisfy w − ε < xₙ and w − ε ∉ V. As V lies to the right of w − ε, we get lim sup X ≥ w − ε. Since ε > 0 was arbitrary, lim sup X = w, which is (a).
最後一步的所求：把 w − ε 擋在 V 外。先用 6.3 左測在 L 裡挑一個超過 w − ε 的成員 ℓ，再看收斂到 ℓ 的那條子數列：它的項最終會擠進 ℓ 附近，而 ℓ 嚴格大於 w − ε，所以除了有限多項之外全都超過 w − ε——這就是無限多項。至此圈閉合，五句話兩兩等價。
五個說法串成一個圈：定義、ε 計數、逐段取 sup、那條階梯的極限、子數列極限的 sup，說的都是同一個數。∎
這張圖在說 (e) 的內容：藍點在三處聚集，每一處都有子數列收斂過去，所以 L 有三個成員。上極限挑的是最右邊那一個。要注意 L 未必是有限集，也未必只由「看得出來」的聚集位置構成——(e) 保證的是不論 L 長什麼樣，它的 sup 一定被 L 自己取到（證明裡那條遞迴挑出的子數列就是見證）。
COROLLARY
Let X = (xₙ) be a bounded sequence in ℝ, write wₘ = inf {xₙ : n ≥ m}, and let L be as in 18.2. For x* ∈ ℝ the following are equivalent.
(a′) x* = lim inf (xₙ).
(b′) For each ε > 0 there are at most finitely many n with xₙ < x* − ε, but infinitely many with xₙ < x* + ε.
(c′) x* = sup {wₘ : m ∈ ℕ}.
(d′) x* = lim (wₘ).
(e′) x* = inf L.
(a′) x* = lim inf (xₙ).
(b′) For each ε > 0 there are at most finitely many n with xₙ < x* − ε, but infinitely many with xₙ < x* + ε.
(c′) x* = sup {wₘ : m ∈ ℕ}.
(d′) x* = lim (wₘ).
(e′) x* = inf L.
下極限有一整套鏡射過來的刻畫：逐段取 inf 得到的是一條遞增的數列，而下極限是全體子數列極限中最小的一個。
正例：三值循環數列的 wₘ = 0，(c′)(d′) 給 0；L = {0, 1, 2} 而 inf L = 0，(e′) 也給 0。反例：(b′) 的兩句話不能照抄 (b) 的方向——若誤寫成「有限多個 n 滿足 x* − ε < xₙ」，以收斂數列 (1/n) 與 x* = 0 檢查即知不成立：滿足 −ε < 1/n 的編號是全部。取負號時每個不等號都要翻面。
PROOF
不重做一次論證——把 18.2 套在數列 −X = (−xₙ) 上，再用上一篇的鏡射引理把每一句翻回來。要翻的東西只有三樣：兩個記號、逐段的 sup、以及子數列極限的集合。
Proof. Write Y = −X. The mirror lemma gives lim sup Y = −lim inf X. Moreover sup {yₙ : n ≥ m} = −inf {xₙ : n ≥ m} = −wₘ, and a subsequence of Y converges to v exactly when the corresponding subsequence of X converges to −v, so L(Y) = {−ℓ : ℓ ∈ L}.
這一步的所求：一張翻譯表。三筆對應都只用到取負號會把 sup 與 inf 互換這件事（6.5）：Y 第 m 段的 sup 是 X 第 m 段 inf 的相反數；Y 的子數列極限集是 L 的相反數集（由 15.6(b) 的純量倍，係數取 −1）。
Applying 18.2 to Y with the number −x* and rewriting each of the five statements through this dictionary turns (a)–(e) into (a′)–(e′) respectively; for instance −x* = inf {−wₘ : m ∈ ℕ} becomes x* = sup {wₘ : m ∈ ℕ}. Since the five statements about Y are equivalent, so are the five about X.
逐句翻一次就看得出全部：(b) 的 −x* + ε < −xₙ 兩邊乘 −1 翻面成 xₙ < x* − ε，這正是 (b′) 的第一句；(c) 的 inf {−wₘ} = −sup {wₘ} 給出 (c′)；(d) 用 15.6(b) 把極限的負號提出來給出 (d′)；(e) 的 sup(−L) = −inf L 給出 (e′)。等價關係在翻譯下原封不動，因為每一步都是可逆的改寫。
下極限的五個刻畫不必另證。以後每遇到上極限的性質，都可以照這條路徑取得它的下極限版本。∎
—— 第二階段到此結束 ——
本篇把上極限的五種說法串成一個圈（18.2）：定義、ε 計數判準、逐段取 sup 後的 inf、那條遞減階梯的極限、以及全體子數列極限的 sup。其中 (d) 與 (e) 解釋了「上極限」這個名字——它真的是一條數列的極限，也真的是所有子數列極限中最大的一個。接著用鏡射引理把整組結果免費翻成下極限版。下一篇 §18-3 問這兩個記號能不能像極限一樣做四則運算，答案會比 15.6 保守一些。先起身伸展一下——剛剛那個圈繞了五步，值得休息。