§13-2  絕對值與拓撲的過戶

複數的絕對值與 ℝ² 的 norm 是同一個數，這件事能推出多少？open set、compact、connected 需不需要為 ℂ 重新定義一次？而實數的順序性質，為什麼偏偏搬不過來？

度量衡沒有換

一間店換了老闆、多賣了一項新商品，招牌也重寫了；可是它的地址沒動，從捷運站走過去仍然是那八百公尺。導航軟體不必更新——因為導航只關心距離，而距離一寸沒變。

ℂ 的處境一模一樣。它與 ℝ² 的成員逐個相同、加法逐字相同，多出來的只有一個乘法（§13-1 的 13.1）。而 §9-1 的 open set（9.1）、cluster point、compact、connected——這一整章的概念追到底，用到的只有「兩點相距多遠」這一件事。乘法既然沒碰距離，這些概念就一個都不必重做。

要把這句話講成定理，得先把「距離」在 ℂ 這邊的名字立起來。

複數的 absolute value

DEFINITION · 複數的 absolute value
For z = (x, y) in ℂ, the absolute value of z is the real number |z| = (x² + y²)^(1/2).
複數 z = (x, y) 的 absolute value（絕對值）是實數 |z| = (x² + y²)^(1/2)；畫面上就是 z 到原點的距離。兩個複數的距離則是 |z − w|。
正例：|(3, 4)| = (9 + 16)^(1/2) = 5，而 §8-2 的 norm（8.5）算 ‖(3, 4)‖ 也是 5——兩套記號指著同一個數。反例：|z| 的輸出是實數，不是一般的複數——|(0, 1)| = 1，落在橫軸上那一排（§13-1 已把 (t, 0) 這款成員逕自寫成實數 t）。差別要緊：實數之間比得了大小，一般的複數之間比不了——所以「z 比 w 大」講不通，「|z| 比 |w| 大」講得通（本篇最後一條定理會把理由證死）。
O z ＝ (x, y) x ＝ Re z y ＝ Im z |z| |z| ＝ (x² + y²)^(1/2)：畢氏定理算出的斜邊長

這張圖在說 absolute value 量的是什麼：以實部與虛部為兩股的直角三角形，斜邊長就是 |z|。ℝ² 的 norm 用的是同一個三角形、同一條斜邊——兩套定義寫下來一字不差。

THEOREM · absolute value 的四條性質
For all w, z in ℂ:
(i) |z| ≥ 0, and |z| = 0 holds exactly when z = 0;
(ii) z z̄ = |z|²;
(iii) |wz| = |w| |z|;
(iv) | |w| − |z| | ≤ |w ± z| ≤ |w| + |z|.
對任意複數 w、z：(i) 絕對值非負，且只有零複數的絕對值是零；(ii) 一個複數乘上自己的共軛，得到的正是絕對值的平方；(iii) 乘積的絕對值等於兩個絕對值相乘；(iv) 三角不等式，含左端的反向估計。
正例：取 w = (2, 1)、z = (1, 2)，§13-1 算過 wz = (0, 5)——|wz| = 5，而 |w||z| = √5 · √5 = 5，(iii) 兌現。反例：(iii) 的「相乘」換成「相加」就不成立——同一組 w、z 有 w + z = (3, 3)，|w + z| = 3√2 ≈ 4.24，比 |w| + |z| = 2√5 ≈ 4.47 小；加法只有不等式 (iv)，沒有等式。
PROOF

記 w = (a, b)、z = (c, d)，四條逐條驗。(i) 與 (ii) 是定義的直接展開，(iii) 是本定理唯一要動手算的一條，(iv) 不必重證。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ (i)：平方和非負，開根號非負；等於零則兩個平方各自為零。
⇢ (ii)：把共軛代進 13.1 的乘法公式，虛部自動消掉。
⇢ (iii)：兩邊都平方再比——乘積的兩個分量展開後，交叉項成對抵消。
⇢ (iv)：認出 |z| 就是 §8 的 norm，三角不等式那條原封拿來用。
Proof.  (i) The real number c² + d² is a sum of two squares, hence never negative, and its non-negative square root is |z|. Should |z| = 0, then c² + d² = 0; since neither square can be negative, both vanish, so c = d = 0 and z is the zero element. The converse is immediate.
(i) 是定義的直讀。因為 c² 與 d² 都不是負數（§5-2 的 5.5：非零實數的平方嚴格正，零的平方是零），它們的和也不是負數，開根號取的又是非負的那一支，所以 |z| ≥ 0。至於等號：兩個非負數相加得零，只可能各自為零，於是 c = d = 0。這一條是例行核對。
(ii) By Definition 13.1, z z̄ = (c, d)(c, −d) = (c·c − d·(−d), c·(−d) + c·d) = (c² + d², 0). Reading the pair (c² + d², 0) as the real number it stands for, this is exactly |z|².
(ii) 把 §13-1 的 conjugate（z̄ 是把虛部改號）代進乘法公式：虛部 c·(−d) + c·d = 0 自動歸零，實部剩 c² + d²。這個數正是 |z| 的平方。具體：z = (3, 4) 時 z z̄ = (25, 0) = 25 = 5²。這一條是本篇最好用的工具：它把「絕對值」這個帶根號的量，換成一個純粹的乘法算式——凡是要對絕對值動手，先平方、改用共軛，路就直了。
(iii) Compute wz = (ac − bd, ad + bc), so |wz|² = (ac − bd)² + (ad + bc)². Expanding, the first bracket contributes a²c² − 2abcd + b²d² and the second contributes a²d² + 2abcd + b²c². Since the two middle terms cancel, what remains is a²c² + b²d² + a²d² + b²c² = (a² + b²)(c² + d²) = |w|² |z|². Because both |wz| and |w||z| are non-negative reals with equal squares, they are equal.
(iii) 是唯一要真的算一次的一條，而且只有乘法才有這種等式。所求：證 |wz| 與 |w||z| 相等；由於兩者都非負，證它們的平方相等就夠了——這樣可以繞開根號。把 wz = (ac − bd, ad + bc) 的兩個分量各自平方展開：前者給出 a²c² − 2abcd + b²d²，後者給出 a²d² + 2abcd + b²c²。整個證明的關鍵只有一件事：兩個交叉項 −2abcd 與 +2abcd 大小相同、符號相反，相加歸零。剩下的四項恰好可以提出公因式，拼成 (a² + b²)(c² + d²)——正是 |w|²|z|²。具體核對：w = (2, 1)、z = (1, 2) 時 wz = (0, 5)，|wz|² = 25，而 |w|²|z|² = 5 × 5 = 25。順帶一提，交叉項之所以配得這麼準，來源是 13.1 公式裡那個由 i² = −1 帶進來的減號。
(iv) The number |z| is, letter for letter, the norm of (c, d) in ℝ². Theorem 8.7 established the triangle inequality for that norm, and the reversed estimate on the left follows from it in the usual way; both statements transfer to ℂ unchanged.
(iv) 不必重證。因為 |z| = (c² + d²)^(1/2) 與 §8-2 的 8.7（內積開根號是合格的 norm，並附贈 Schwarz 不等式）替 ℝ² 定出的 ‖(c, d)‖ 是同一個算式，那條三角不等式的每一步在這裡逐字成立；左端的反向估計也照 §5-4 的 5.12 同一套推法得到。這一條之所以「白拿」，正是下一條定理要一般化的現象。
四條齊備：|·| 量得出距離、認得出零、與乘法相容，並且服從三角不等式。∎
|wz|² 展開後的六項：中間兩項成對消失 (ac − bd)² a²c² − 2abcd + b²d² (ad + bc)² a²d² + 2abcd + b²c² −2abcd ＋ 2abcd ＝ 0 剩下 (a² + b²)(c² + d²) ＝ |w|² |z|²

這張圖在證 (iii) 的機制：兩個分量各自平方後，唯一擋路的是那兩個交叉項；它們大小相同、符號相反，相加即消失，剩下的四項自動分解成兩個平方和的乘積。等式成立與否，全押在這一次相消上。

例 3單位圓 S = {z ∈ ℂ : |z| = 1} 是 compact，而且對乘法封閉
舊工具與新運算第一次同場：拓撲的判準照舊使用，結論卻多說了一句只有 ℂ 才有的事。
先用 §11-2 的 Heine-Borel 定理（11.3）判 compact，再檢查乘法把 S 送到哪裡。
  1. bounded：S 的每個成員到原點的距離都是 1，整個集合裝得進半徑 2 的球。
  2. closed：S 正是 §8-3 的 8.9 所說的 sphere（球心為原點、半徑 1 的球面）。把它寫成兩個 closed sets 的交集就驗完了：closed ball {z : |z| ≤ 1} 是 closed（§9-2 例 6），而 open ball {z : |z| < 1} 是 open（§9-1 例 7），所以它的補集也是 closed（9.4：closed set 就是 open set 的補集）；S 恰是這兩者的交集，由 9.6(c)（任意一族 closed sets 的交集仍 closed）判定 closed。於是 11.3 判定 S 是 compact。
  3. 乘法：任取 w, z ∈ S，由 (iii) 得 |wz| = |w||z| = 1 · 1 = 1，所以 wz 也在 S 上。
S 是 compact，這一半的結論從 §11 原封搬來、一個字沒改；而「兩個成員相乘仍是成員」這一半，是 ℝ² 講不出來的話——例 2 的旋轉全體就住在這個圓上，兩次旋轉接著做，還是一次旋轉。
S：|z| ＝ 1 w z wz 角度相加 長度 1 × 1 ＝ 1 compact 由 11.3 判定；封閉性由 |wz| ＝ |w||z| 保證

這張圖在說例 3 的兩半各由誰負責：整個圓是 bounded 又 closed，所以 compact——這一半是拓撲的舊帳。w 與 z 的乘積仍落在圓上——這一半由性質 (iii) 保證，是乘法帶來的新結論。

整章原封搬過去

例 3 用掉的 11.3 沒有為複數改寫過任何一個字。這不是碰巧，值得寫成定理講清楚。

THEOREM · ℂ 的拓撲就是 ℝ² 的拓撲
The absolute value of z = (x, y) in ℂ is the very number Section 8 calls the norm of (x, y) in ℝ². The two systems therefore carry identical balls, hence identical open sets, closed sets, cluster points, compact sets and connected sets. Every theorem of Sections 9 through 12 that is stated for ℝᵖ accordingly holds in ℂ, read with p = 2 — the Bolzano-Weierstrass Theorem 10.6, the Heine-Borel Theorem 11.3 and Theorem 12.7 among them. Results stated for ℝ alone, such as 9.11 and 12.8, describe the line and fall outside this claim.
因為 |z| 與 ℝ² 的 norm 是同一個數，ℂ 與 ℝ² 的球逐個相同，於是 open set、closed set、cluster point、compact、connected 全數相同。§9 到 §12 凡是對 ℝᵖ 敘述的定理，取 p = 2 就在 ℂ 上原封成立——Bolzano-Weierstrass（10.6）、Heine-Borel（11.3）與 12.7 都在其中；只對 ℝ 敘述的結果（如 9.11、12.8）講的是一維直線，不在此列。
正例：{z : |z| < 1}（開圓盤）在 ℂ 裡是 open、是 connected，理由與 ℝ² 那邊逐字相同。反例一：只對 ℝ 敘述的結果搬不過去——12.8 說 ℝ 的 connected 子集就是區間，把 ℝ 逐字換成 ℂ 立刻是假話：開圓盤是 connected，卻不是任何區間。反例二：與距離無關的性質也搬不過去——ℂ 的成員不能比大小，本篇最後一條定理會證明它為什麼搬不動。
PROOF

要點只有一個：§9 到 §12 的每個概念，往下追都停在同一個底層量上——兩點的距離。

Proof.  For z = (x, y) and w = (x′, y′), the difference z − w is the pair (x − x′, y − y′), so |z − w| = ((x − x′)² + (y − y′)²)^(1/2). That is precisely the distance between (x, y) and (x′, y′) in ℝ². Consequently the ball of radius r about z consists of the same points in either system.
第一步把兩邊的距離對齊。因為 13.1 的減法是逐分量做的，z − w 的兩個分量就是 x − x′ 與 y − y′；代進絕對值的定義，得到的算式與 §8-3 的 8.9（open ball、closed ball 與 sphere）所用的距離一字不差。於是「以 z 為心、r 為半徑的球」在兩邊圈到的是同一批點——不是「對應」，是同一個集合。具體：z = (1, 1)、r = 1 圈到的那塊圓盤，兩邊寫出來的成員清單完全一致。
Now every notion of Sections 9 to 12 is built from those balls. A set is open when each of its points owns a ball inside it (9.1); closed sets are the complements of open sets (9.4); a cluster point is one every ball about which catches another point of the set (10.3); compactness is stated through coverings by open sets (11.1); connectedness through pairs of open sets (12.1). Since the balls agree, each of these classes of sets is the same in ℂ as in ℝ².
第二步是一次連鎖。§9-1 的 9.1（open set：每個成員都配得到一顆整顆留在集合內的球）只用到球；§9-2 的 9.4（closed set 是 open set 的補集）只用到 open set；§10-2 的 10.3（cluster point：每顆球都撈得到集合的另一個點）只用到球；§11-1 的 11.1（compact：每個 open covering 都裁得出有限子覆蓋）與 §12-1 的 12.1（connected：找不到由兩個 open sets 構成的分割）只用到 open set。既然最底層的球在兩邊完全一致，這一整串定義挑出來的集合族也就完全一致。
A theorem of Sections 9 to 12 stated for ℝᵖ speaks about these classes and nothing else, so each such theorem, together with its proof, reads correctly in ℂ once p is taken to be 2. A theorem stated for ℝ is a different matter: it describes the line, and the line is not what ℂ is.
第三步收口，同時劃清界線。對 ℝᵖ 一般維度敘述的定理，談的全是這幾類集合，而這幾類集合在兩邊是同一批，於是連同證明逐字讀到 ℂ 上都仍然正確——取 p = 2 即可：10.6 Bolzano-Weierstrass（ℝᵖ 中有界的無限集必有 cluster point）、11.3 Heine-Borel（compact ⟺ closed 且 bounded）、12.7（open set connected ⟺ 任兩點折線可達）都在名下，例 3 正是直接領用 11.3 的一次。只對 ℝ 敘述的結果不在名下，因為那些定理談的是一維直線本身的長相，而 ℂ 對應的是 ℝ²。
乘法沒有碰距離，於是也沒有碰任何架在距離上的東西：拓撲章對 ℝᵖ 立下的成果，在 ℂ 上一次過戶。∎
r 在 ℂ 裡：|z − w| < r 在 ℝ² 裡：‖(x, y) − (x′, y′)‖ < r 同一批點、同一個半徑——兩種寫法指的是同一顆球

這張圖在說搬家為什麼免費：兩個系統寫出來的球，成員清單逐點相同。open set、compact、connected 全都只透過球來認人，最底層一致，上層就沒有一條需要重講。

「原封搬過去」有一道維度上的限制：搬得動的是對 ℝᵖ 一般維度敘述的結果，讀的時候把 p 取成 2。§9-4 的 9.11（ℝ 的 open set 就是可數多個開區間的聯集）與 §12-3 的 12.8（ℝ 的 connected 子集就是區間）只對一維的實直線成立，把 ℝ 逐字換成 ℂ 會得到假話——開圓盤 {z : |z| < 1} 是 connected，卻不是任何區間，而它也絕不是一族開區間的聯集。判準記一句：ℂ 對應的是 ℝ²，不是 ℝ。

搬不動的那一件：大小

「全部原封搬過去」講得太痛快了，該補上例外。§5-1 的順序性質（5.1）不是從距離長出來的——它從一個指定的正數集 P 長出來，而那個集合在 ℂ 裡根本配不出來。這件事不是「暫時還沒找到寫法」。

THEOREM · ℂ 排不出相容的大小關係
No subset P of ℂ can play the role that the positive class of 5.1 plays in ℝ: closure under addition, closure under multiplication and trichotomy cannot hold together. Hence the relations > and < of Section 5, and everything resting on them, are unavailable in ℂ.
ℂ 裡不存在任何子集 P 能扮演 5.1 的正數集：對加法封閉、對乘法封閉、又滿足三分律，這三件事湊不齊。於是 §5 的 >、< 以及一切架在其上的東西（如 sup），在 ℂ 上都無從談起。
正例：在 ℝ 這邊 P 確實存在——嚴格正實數集三條全過，這正是 5.1 立得起來的原因。反例：ℂ 上排得出線，卻不合格——令 P 收下「實部為正」與「實部為零而虛部為正」的複數（先比實部、再比虛部），它對加法封閉、三分律也成立，可是 i ∈ P 而 i · i = −1 ∉ P，乘法封閉當場失效。
PROOF

反證。設 P ⊆ ℂ 滿足 5.1 的三條要求，以下推出矛盾。ℂ 是 field 這件事已由 §13-1 證明，因此 §4 的代數結果在此可用。

證明計畫 · 由所求想起
要證：這樣的 P 不存在。
⇢ 先證一條中途結果：每個非零複數的平方都落在 P 裡。
⇢ 把它用在兩個特定成員上——1 的平方是 1，i 的平方是 −1。
⇢ 於是 1 與 −1 同時在籍，而三分律只准中一項。
Proof.  Suppose such a P exists, and let z ≠ 0. Trichotomy leaves two possibilities: either z ∈ P, or −z ∈ P. In the first case closure under multiplication gives z · z ∈ P. In the second case it gives (−z)(−z) ∈ P, and the sign rules 4.5 — valid in every field, hence in ℂ — identify (−z)(−z) with z². Either way z² ∈ P.
中途結果：每個非零複數的平方都在 P 裡。所求是一句對所有非零 z 都成立的話，而三分律恰好把 z 的處境限縮成兩種——z ∈ P，或 −z ∈ P（z = 0 已被排除）。第一種情形，因為 P 對乘法封閉，z 乘自己還在 P 裡。第二種情形，封閉性給的是 (−z)(−z) ∈ P；而 §4-3 的 4.5（符號的規則五條，含負負得正）說 (−z)(−z) = z²，這條在任何 field 都成立，ℂ 已驗明是 field，於是照用。兩條路殊途同歸，都把 z² 送進 P。在 ℝ 上這是熟面孔：(−3)² = 9 是正的，走的正是第二條路。
Apply this to two particular elements. Since 1 = (1, 0) is not zero, 1 = 1² ∈ P. Since i = (0, 1) is not zero, i² ∈ P as well; but Definition 13.1 computes i² = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Hence 1 ∈ P and −1 ∈ P at the same time.
把中途結果用在兩個具體成員上。取 z = 1 = (1, 0)：它不是零，所以它的平方——也就是 1 自己——落在 P 裡。再取 z = i = (0, 1)：它也不是零，所以 i² 落在 P 裡；而 13.1 的乘法公式算得 i² = (−1, 0)，那正是 −1。於是 1 與 −1 一起在籍。ℝ 上不會發生這種事，因為那裡沒有任何元素的平方等於 −1——i 的存在正是 ℂ 的招牌，也正是它付出的代價。
Trichotomy applied to the element 1 allows exactly one of 1 ∈ P, 1 = 0, −1 ∈ P to hold. Two of them hold. This contradiction shows that no such P exists.
矛盾收口：三分律對元素 1 只准三項中的恰好一項成立，如今第一項與第三項同時為真。假設垮台，這樣的 P 不存在。順帶說明反例欄那個先比實部再比虛部的排法為什麼不算數：它排得出一條線、也守得住三分律，唯獨守不住乘法封閉——上面這場矛盾正是它必然失守的原因。
ℂ 上沒有與四則運算相容的大小關係。凡是靠 >、< 講出來的結果——單調、上界、sup——都不隨拓撲一起過戶；能講的只有實數 |z| 之間的大小。∎
i ≠ 0，三分律 i ∈ P −i ∈ P −1 ∈ P 乘法封閉 負負得正 而 1 ＝ 1² 也在 P 裡——三分律只准中一項

這張圖在證矛盾怎麼發生（本證明走反證，圖畫的是假想的 P 崩塌的現場）：i 不是零，三分律逼它二選一；兩條路一條用乘法封閉、一條用負負得正，都把 −1 送進 P。同時 1 自己也在 P 裡，於是元素 1 同時中了三分律的第一項與第三項。

—— 第二階段到此結束，整個 §13 與拓撲章一併收工 ——

回望這一節：ℂ 的兩個運算立好（13.1），九條公理逐條驗過確認它是 field，乘法的幾何是長度相乘、角度相加；絕對值四條性質備齊，其中 |wz| = |w||z| 是乘法獨有的紅利；而因為絕對值就是 ℝ² 的 norm，§9 到 §12 凡對 ℝᵖ 敘述的成果一次過戶（一維專屬的 9.11 與 12.8 除外），只有大小關係徹底留在原地——那一條有完整的反證。再往回看一整章：從 open set 與 closed set 的判準（§9），到巢狀 cells 與 Bolzano-Weierstrass（§10）、Heine-Borel 與它的一串紅利（§11）、connected 與 ℝ 上的區間分類（§12），最後在 ℂ 上一次驗收——拓撲章到此結束。站起來走一圈，這一章值得。臨走前一則：實數問複數為什麼從不參加排名比賽，複數說——「我們這邊沒有名次，只有方向。」

下一幕預告

下一章換一種問法。前面五節都在問「一個集合長什麼樣」——它開不開、閉不閉、緊不緊、連不連。§14 起改問「一串點跑到哪裡去」：給定 x₁, x₂, x₃, ⋯ 一個接一個排下去，它會不會愈來愈靠近某個定點？「愈來愈靠近」要怎麼定義才禁得起挑剔？而這一章攢下的 cluster point、compact、closed，會在那裡換一副面孔重新出場——收斂的極限與聚點，本來就是同一件事的兩種說法。