Assume a < b and let f be continuous on J = [a, b] and differentiable at every point of (a, b). (i) Should f′ vanish throughout (a, b), then f is constant on J. (ii) If g meets the same hypotheses and f′ agrees with g′ throughout (a, b), then f − g is constant on J. (iii) If f′ ≥ 0 throughout (a, b), then f(x₁) ≤ f(x₂) for x₁ ≤ x₂ in J. (iv) If f′ > 0 throughout (a, b), then f(x₁) < f(x₂) for x₁ < x₂ in J. (v) If some δ > 0 with a + δ ≤ b has f′ ≥ 0 throughout (a, a + δ), then a is a relative minimum point of f. (vi) If some δ > 0 with b − δ ≥ a has f′ ≥ 0 throughout (b − δ, b), then b is a relative maximum point of f. (vii) If |f′| ≤ M throughout (a, b), then f obeys the Lipschitz condition |f(x₁) − f(x₂)| ≤ M |x₁ − x₂| on J.
七條看起來各講各的，其實共用同一個動作：任取兩點、只對那一段用 27.6、再讀 f′(c)(x₂ − x₁) 這個乘積。(ii) 特別要求 g 也滿足同樣的前提——不是為了對稱好看，而是因為 f − g 得先在 J 上連續、在 (a, b) 內可微，才送得進 (i)。(v) 與 (vi) 的條件都是導數非負，結論卻一個是極小、一個是極大，這不是印錯，理由留到證明裡講；而這兩條的 δ 嚴格大於零也不是排版慣例——δ 一旦容許為零，那一小截是空的，條件就沒有要求任何事，敘述當場為假：f(x) = −x 於 [0, 1] 上兩個條件都空洞成立，可是 0 不是它的 relative minimum、1 也不是它的 relative maximum。附帶的 a + δ ≤ b 與 b − δ ≥ a 則是讓那一小截整個留在 (a, b) 內，因為導數只在那裡有保證。(vii) 的結論恰好就是 §23-3 的 23.4 Lipschitz 條件（值差不超過自變數差的 M 倍），於是那個當初看起來很技術的條件終於有了來源：導數有界。
證明計畫 · 由所求想起 (i) 所求是「任兩點的值相等」——對那兩點夾出的一段用 27.6，右邊有一個因式是零，等式立刻塌成兩個值相等。 (ii) 所求是「差是常數」——先確認 f − g 也滿足前提、且它的導數恆為零，再整個送進 (i)。 (iii)(iv) 所求是不等式——同一條等式，改讀 f′(c) 的符號；兩個正數相乘為正，非負乘正數不為負。 兩點相同的情形不必動用 27.6：等式兩邊都是零，結論自己成立。
Proof. (i) Let x₁ < x₂ be points of J. Since f is continuous on [x₁, x₂] and has a derivative in (x₁, x₂), Theorem 27.6 gives a point c with x₁ < c < x₂ and f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁). Because a < c < b we have f′(c) = 0, so f(x₂) = f(x₁). Since this holds for every pair of points, f is constant on J.
(ii) Put h = f − g. For a < x < b the difference quotient of h at x is the difference of the difference quotients of f and g, so an ε/2 estimate gives h′(x) = f′(x) − g′(x) = 0. Since g is assumed to satisfy the same hypotheses as f, the function h is continuous on J and has a derivative in (a, b). Therefore part (i) applies to h, and h is constant on J.
這一步的所求：把「兩個函數的導數相同」化約成「一個函數的導數恆為零」，好接上剛證完的 (i)。要交代兩件事。第一件是前提：(i) 吃的是「在 J 上連續、在 (a, b) 內有導數」的函數，所以 g 必須也滿足同樣的前提，h = f − g 才拿得到入場的資格——只知道 g 有導數而不知道它連續是不夠的，因為 h 在端點 a、b 上的連續正是 27.6 需要的那一格。第二件是 h′ = f′ − g′ 這一步：本篇還沒有一般的求導規則，所以當場算。依 §27-1 的 27.1（導數的定義：差商與某個實數的誤差可以壓到任意小），h 在 x 的差商是 (h(t) − h(x))/(t − x)， 把 h = f − g 代進去逐項拆開，它等於 f 的差商減 g 的差商。給定 ε > 0，各自取一個 δ 讓兩個差商分別離 f′(x)、g′(x) 不到 ε/2，取兩者中較小的那個 δ，三角不等式就把 h 的差商與 f′(x) − g′(x) 的誤差壓到 ε 以內。既然假設 f′ = g′，這個數是零。
(iii) Let x₁ ≤ x₂ in J. If x₁ = x₂ the conclusion is immediate, so suppose x₁ < x₂ and take c as in (i). Since f′(c) ≥ 0 and x₂ − x₁ > 0, the product f′(c)(x₂ − x₁) is not negative. Hence f(x₂) − f(x₁) ≥ 0, that is f(x₁) ≤ f(x₂).
這張圖在說 (i) 與 (ii) 各證出什麼畫面。左邊是 (i)：導數恆為零的函數在整段上只有一個高度可待，圖形是一條水平線。右邊是 (ii)：兩個函數的導數處處相同時，證出來的不是它們相等，而是上下兩條曲線的垂直間隔量到哪裡都一樣——因為它們的差是常數。兩張畫面共用同一條理由，右邊只是把左邊套在差函數上。
(iv) Let x₁ < x₂ in J and take c as before. This time f′(c) > 0 and x₂ − x₁ > 0, so the product of the two factors is strictly positive. Therefore f(x₂) − f(x₁) > 0, and f(x₁) < f(x₂).
(v) By hypothesis there is a δ > 0 with a + δ ≤ b such that f′ ≥ 0 on (a, a + δ). Let x satisfy a < x < a + δ. Then f is continuous on [a, x] and f′ ≥ 0 on (a, x), so part (iii) applied to this interval gives f(a) ≤ f(x). Since the inequality also holds at x = a, we get f(a) ≤ f(x) for every x ∈ J with |x − a| < δ. Hence a is a relative minimum point.
這一步的所求：交出 §27-2 的 relative minimum 定義（存在一個 δ，使得定義域中離 a 不到 δ 的每個點的值都不小於 f(a)）所要求的那個 δ；而前提已經送了一個現成的過來，直接用它就好。真正的推理只有一行：[a, x] 是「導數非負」那一截再加上左端點 a，(iii) 在這一段上成立，讀出來就是最左邊的值最小。這裡用得到 f 在端點 a 的連續——(iii) 要求的是閉區間上的連續，而導數的假設只給到開區間 (a, a + δ)，少了端點連續，開區間上的「不下降」延伸不到 a 這一點，結論就落空。前提裡的兩個附帶條件也各有用處：δ > 0 讓 (a, a + δ) 真的裝得下點——若容許 δ = 0，這一截是空集，「其上導數非負」不要求任何事，而 f(x) = −x 於 [0, 1] 立刻反證：它通過這句空話，可是 0 顯然不是它的 relative minimum；a + δ ≤ b 則讓那一截整個留在 (a, b) 內，導數在那裡才有定義。
(vi) Similarly, take a δ > 0 with b − δ ≥ a as in the hypothesis, and let x satisfy b − δ < x < b. Then f is continuous on [x, b] and f′ ≥ 0 on (x, b), so part (iii) applied to this interval gives f(x) ≤ f(b). Because the same inequality is trivial at x = b, the point b is a relative maximum point of f.
這一步的所求：說明為什麼同樣是「導數非負」，這一條得到的卻是極大。關鍵不在導數的符號，而在端點站在那一小截的哪一邊：(v) 裡那一截是 (a, a + δ)，a 是它的左端，函數在這一段上不下降，所以左端的值是最小的；(vi) 裡那一截是 (b − δ, b)，b 是它的右端，函數在這一段上同樣不下降，所以右端的值反而是最大的。同一句「往上走」，站在起點的人看到自己最低，站在終點的人看到自己最高——條件相同而結論相反，原因全在位置。這裡同樣要用到 f 在端點 b 的連續，才能把 (iii) 用在含 b 的閉區間 [x, b] 上。
這張圖在證 (v) 與 (vi) 為什麼結論相反。兩段曲線的走勢完全一樣——都是不下降，兩條前提也都寫著導數非負。差別只有一件事：左圖標出的端點 a 位在那一小截的起點，往右看全是更高的值，所以它是極小；右圖標出的端點 b 位在那一小截的終點，往左看全是更低的值，所以它是極大。空心圓是那一截的另一端，不是結論所在。
(vii) Let x₁, x₂ be points of J. If they coincide, both sides of the asserted inequality are zero. Otherwise we may suppose x₁ < x₂; taking c as in (i) and passing to absolute values, we obtain |f(x₂) − f(x₁)| = |f′(c)| · |x₂ − x₁|. Since |f′(c)| ≤ M, it follows that |f(x₂) − f(x₁)| ≤ M |x₂ − x₁|. Both sides are unchanged when x₁ and x₂ are interchanged, so the Lipschitz condition holds throughout J.