§28-6 逐項求導

一列可微的函數收斂到某個函數時，極限函數還可微嗎？如果連收斂都是均勻的呢？而如果換成要求導數列均勻收斂，結論會不會反過來變得很強——強到函數列本身只要有一個點收斂就夠？

一列函數逐項求導，答案還對嗎

用鉛筆把一條彎曲的山路描下來。第一次描得粗，第二次修一修，第三次再修——描出來的線一次比一次貼著真正的路，貼到最後肉眼分不出兩者。可是換一個問題問：沿著描出來的線開，每一刻的方向盤角度也跟著越來越接近嗎？不見得。在真正的路旁邊加上一串很細的鋸齒，位置幾乎沒有挪動，方向卻一直在左右之間甩。

位置很接近、斜率可以差很遠，這件事在 §24-1 的 24.1 那裡已經露過一次臉：均勻收斂管得住連續，可是它管的是函數值那一欄。要是想讓極限函數的導數也等於各項導數的極限，光靠函數值靠得近顯然不夠。

那就把要求換一邊：不控制函數值，改控制斜率。如果一列函數的導數在整段區間上一致地互相靠近，函數本身會被逼成什麼樣子？答案比預期強——只要再挑一個點把高度對齊，函數列自己的均勻收斂都是附送的。

先把三件工具擺到手邊。其一，§17-2 的 17.4 的均勻收斂：起算編號只看 ε、不看 x。其二，§17-3 的 17.9 把它換算成一個數——‖fₙ − f‖_J 是兩個函數在 J 上差距的 sup，均勻收斂就是這個數趨向 0。其三，§27-3 的 27.6 均值定理：連續且內部可微的函數，兩端的值差等於某一點的導數乘上區間長度。本篇的全部力氣都花在第三件上，而且要用兩次。

28.5 THEOREM

Let (fₙ) be real-valued functions on a bounded interval J of ℝ, each differentiable on J. Assume that (fₙ(x₀)) converges for at least one x₀ ∈ J and that (fₙ′) converges uniformly on J to some g. Then (fₙ) itself converges uniformly on J to a function f, this f is differentiable at every point of J, and f′ = g.

前提的形狀值得多看一眼：對函數列本身只要求一個點收斂，吃重的均勻收斂假設整個落在導數列上。這個不對稱是有道理的——均值定理把兩個函數在整段區間上的差距，換算成它們導數之差乘上區間長度，所以導數列一旦被壓住，函數列的差距就只剩一個常數的自由度，而那個常數由 x₀ 那一點釘死。反過來完全不行：把均勻收斂加在函數列身上保不住可微。

正例：fₙ(x) = x²/n + x 於 [0, 1]。導數是 fₙ′(x) = 2x/n + 1，與常數函數 1 的差距 sup 為 2/n → 0，均勻收斂；而 fₙ(0) = 0 收斂。定理於是斷定 (fₙ) 均勻收斂、極限可微且導數恆為 1——直接算也看得到極限是 f(x) = x。反例：假設不能挪到函數列身上——例 1 的 fₙ(x) = √(x² + 1/n) 在 [−1, 1] 上均勻收斂、每一項都可微，極限 |x| 卻在 0 沒有導數。

「有界區間」不是裝飾：把 J 換成 ℝ 就有現成的反例。取 fₙ(x) = x/n：導數 fₙ′ 恆為 1/n，與零函數的差距 sup 就是 1/n，均勻收斂；fₙ(0) = 0 也收斂。可是 (fₙ) 在 ℝ 上並非均勻收斂（§17-2 例 5：x 取得夠大就把 x/n 拉回任意高）。垮掉的只有「均勻」那一半——逐點極限仍是零函數，仍然可微，導數也仍等於 g。有界這個前提買下的，正是下面證明裡那個放大倍率 b − a。

這張圖在說 28.5 的前提為什麼夠用：兩條曲線的走勢處處相近（導數列均勻收斂），又在 x₀ 這一點對齊高度，於是它們在整段區間上的差距只能由「起點差」加上「斜率差累積起來的量」構成。右端那一小段紅線就是全部的落差——證明要做的事，就是把它算成一個可以壓小的式子。

PROOF 1/2

記 J 的端點為 a < b。（J 只有一個點時它不是自己的 cluster point，沒有任何函數在上面可微，前提無從滿足；所以以下的 J 含不只一個點，於是 b − a > 0，而且 J 的每一點都是 J 的 cluster point，27.1 的導數定義套得上。）這張卡只辦一件事：函數列自己均勻收斂。

證明計畫 · 由所求想起
所求是「任兩個編號的函數在整段區間上的最大差距可以壓小」，因為有了它就有均勻收斂，而且不必先知道極限函數是誰。
把兩個函數的差看成一個函數，對它套均值定理：兩端取 x₀ 與任意的 x。這樣一來，任一點的差就等於 x₀ 那一點的差，加上導數之差在某一點的值乘上兩點的距離。
右邊兩項各有一個假設負責：前者由「x₀ 那一點收斂」壓小，後者由導數列的均勻收斂壓小，而距離最多是整段區間的長度。

Proof. Let a < b be the endpoints of J, take x ∈ J and natural numbers m, n. The function fₘ − fₙ is differentiable, hence continuous, on J, so applying 27.6 on the interval with endpoints x₀ and x produces a point y between them with
(fₘ − fₙ)(x) = (fₘ − fₙ)(x₀) + (x − x₀)·(fₘ′ − fₙ′)(y).

這一步的所求：把「兩個編號的函數在任一點 x 差多少」換成一個導數列說得上話的量。做法是把 fₘ − fₙ 整個看成一個函數，對它套 27.6 均值定理（連續且內部可微的函數，兩端的值差等於某一點的導數乘上區間長度），區間的兩端取 x₀ 與 x。差的導數就是導數的差，這由 §28-1 的求導四則給出。換算之後右邊只剩兩個量：x₀ 那一點的差，以及導數之差在某一點 y 的值——兩個假設剛好各認領一項。要留意 y 隨 m、n 與 x 而變，我們永遠不知道它在哪裡，可是下一步只用到「它落在 J 裡」。x 恰好等於 x₀ 時區間退化成一點，等式兩邊都是 (fₘ − fₙ)(x₀)，仍然成立。

Since |x − x₀| ≤ b − a holds for every x ∈ J, taking the sup over x gives
‖fₘ − fₙ‖_J ≤ |fₘ(x₀) − fₙ(x₀)| + (b − a)·‖fₘ′ − fₙ′‖_J.
Let ε > 0. The convergent sequence (fₙ(x₀)) is a Cauchy sequence, so its terms differ by less than ε/2 once the indices are large; and because (fₙ′) converges uniformly, ‖fₘ′ − fₙ′‖_J falls below ε/(2(b − a)) once they are large. Hence ‖fₘ − fₙ‖_J < ε for all large m, n, and 17.11 supplies a function f to which (fₙ) converges uniformly on J.

這一步的所求：一個對整段區間一次講完的上界。那個 (b − a) 是全證明唯一用到「區間有界」的地方：|x − x₀| 最多就是整段區間的長度，導數之差被這個固定的倍率放大一次，仍然壓得下去；區間無界時這個倍率沒有上限，整條估計就沒有意義。拿數字走一次：J = [−1, 1] 時 b − a = 2，要 ε = 0.1，只要起點的差小於 0.05、導數的最大差距小於 0.025，整段區間上的差就小於 0.1。兩個前提在這裡各出場一次：(fₙ(x₀)) 收斂因而是 Cauchy 數列（§16-4 的 16.7：收斂的數列必為 Cauchy），而 (fₙ′) 均勻收斂使得任兩個編號的導數也互相靠近（‖fₘ′ − fₙ′‖_J ≤ ‖fₘ′ − g‖_J + ‖g − fₙ′‖_J）。最後由 §17-4 的 17.11 Cauchy 判準（兩兩的最大差距壓得小，就有一個函數被這列函數均勻逼近）交出 f——到這裡我們還完全沒有寫出 f 是誰。

導數列一被壓住，函數列自己就均勻收斂了。∎

這張圖在說證明第一步做了什麼換算：黑線是兩個函數的差，藍線把 x₀ 與 x 兩端連起來，紅線是曲線上某一點 y 的切線。均值定理保證這兩條線的斜率相同，於是「兩端的值差」被改寫成「某一點的導數乘上兩點的距離」——右邊那個形狀，正好是導數列的均勻收斂管得到的。

這張圖在說第二步的預算怎麼分：把每一點的差看成兩塊相加——左端那一小段紅線是 x₀ 處的差，藍色楔形是導數之差沿著區間累積出來的量，而它張開的幅度最多是「導數的最大差距乘上 b − a」。兩塊都各自壓到 ε/2 以下，右端的總高度就小於 ε。區間無界時楔形沒有右端，這張圖也就畫不出來。

一個技術細節：17.11 是對有界函數的空間講的，而 J 未必含端點，每個 fₙ 也未必有界。要用它，就對「差」下手：先取 N 使 n ≥ N 時 ‖fₙ′ − g‖_J ≤ 1，於是 m, n ≥ N 時 ‖fₘ′ − fₙ′‖_J ≤ 2，上面的估計立刻給出
‖fₙ − f_N‖_J ≤ |fₙ(x₀) − f_N(x₀)| + 2(b − a)，
右邊是一個實數。所以 n ≥ N 之後的 fₙ − f_N 全都有界，把 17.11 用在這一列上得到它均勻收斂，再把 f_N 加回去即可。前面有限多項不影響均勻收斂——它的定義只管編號夠大之後的事。

PROOF 2/2

固定 J 的一點 c，要證 f 在 c 有導數而且等於 g(c)。依 27.1，要壓小的是「f 在 c 的差商與 g(c) 的距離」。手上比剛才多了一件成果：(fₙ) 已經均勻收斂到 f。

證明計畫 · 由所求想起
所求是把 f 在 c 的差商拉到 g(c) 附近，可是 f 只是一個極限，它的差商算不出來。改走三段接力：f 的差商 → 某一個 fₙ 的差商 → fₙ′(c) → g(c)。
第一段：兩個編號的函數，差商相差多少？再套一次均值定理，區間換成以 c 與 x 為端點，答案被導數列的最大差距壓住；接著讓編號 m 跑到極限，就換成 f 與 fₙ 的差商之差。
第二段：某一個 fₙ 自己在 c 可微，這一段要讓 x 靠近 c 才生效。
第三段：fₙ′(c) 靠近 g(c)，這只是那一點上的逐點收斂。
三段來自三個不同的極限過程，所以次序不能亂：編號先選定，最後才讓 x 靠近 c。

Let c ∈ J and let x ∈ J with x ≠ c. Applying 27.6 to fₘ − fₙ on the interval with endpoints c and x yields a point z between them with
  (fₘ − fₙ)(x) − (fₘ − fₙ)(c) = (x − c)·(fₘ′ − fₙ′)(z).
Dividing by x − c we obtain
  |(fₘ(x) − fₘ(c))/(x − c) − (fₙ(x) − fₙ(c))/(x − c)|
  ≤ ‖fₘ′ − fₙ′‖_J ≤ ε  whenever m, n ≥ M(ε).

這一步的所求：兩個編號的函數，它們在 c 的差商相差多少。做法與第一張卡一模一樣，只是區間換成以 c 與 x 為端點——把 fₘ − fₙ 在這一段上套均值定理，兩端的值差等於某一點 z 的導數乘上 x − c，兩邊同除以 x − c 之後，左邊剛好是兩個差商的差，右邊只剩導數之差在 z 的值。除法是合法的，因為我們一開始就限定 x ≠ c。這個界最要緊的性質是它不看 x 在哪裡：z 雖然隨著 x 跑，可是 ‖fₘ′ − fₙ′‖_J 是對整段區間取的 sup，一次蓋住所有可能的 z；M(ε) 因此只跟著 ε 走。

Now keep n, c and x fixed and let m tend to infinity. Because fₘ(x) → f(x) and fₘ(c) → f(c), the quotient on the left converges to the corresponding quotient for f, so Lemma 15.8 turns the bound into
|(f(x) − f(c))/(x − c) − (fₙ(x) − fₙ(c))/(x − c)| ≤ ε,
which holds for every n ≥ M(ε) and every x ∈ J with x ≠ c.

這一步的所求：把上一行裡的 fₘ 換成真正的 f。跑動的那一列是 fₘ 的差商（m = 1, 2, ⋯），它收斂到 f 的差商，因為分子的兩項各自收斂而分母是固定的數。§15-4 的 15.8（收斂數列的非嚴格不等式過得了極限：每一項與某個中心的距離不超過 r，極限與該中心的距離也不超過 r）在這裡把中心取成 fₙ 的差商、半徑取成 ε。嚴格的小於在取極限之後只保得住小於等於，這是 15.8 的內容，也是最後把三段相加時要留餘裕的原因。另外要記住這個界與 x 無關：同一個 ε 對每個 x ≠ c 都成立——下一步要先固定編號再讓 x 動，靠的就是這件事。

Choose N(ε) so that |fₙ′(c) − g(c)| < ε for n ≥ N(ε), and put K = sup{M(ε), N(ε)}. Since f_K has a derivative at c, there is δ > 0 with
|(f_K(x) − f_K(c))/(x − c) − f_K′(c)| < ε for x ∈ J, 0 < |x − c| < δ.
Therefore the triangle inequality gives, for those x,
|(f(x) − f(c))/(x − c) − g(c)| < 3ε.
As ε was arbitrary, f′(c) = g(c), and c was an arbitrary point of J.

這一步把三段接起來，也是全證明唯一需要小心次序的地方。三個誤差來自三個不同的極限過程：第一段來自「編號 m 跑到極限」，第二段來自「x 靠近 c」，第三段來自「編號 n 跑到極限」，混在一起就會用到還沒挑好的東西。所以順序是這樣：先由 ε 定出 M(ε) 與 N(ε)，取較大的那個當 K，此後 K 就不動了；再向「f_K 在 c 有導數」這件事要一個 δ，這個 δ 當然跟著 K 走，可是 K 早已固定，沒有循環。三段相加是：f 的差商與 f_K 的差商相差至多 ε（對每個 x ≠ c 都成立），f_K 的差商與 f_K′(c) 相差小於 ε（只在 0 < |x − c| < δ 時成立），f_K′(c) 與 g(c) 相差小於 ε（與 x 無關）。合計小於 3ε；起手把 ε 換成 ε/3 就是 27.1 要的標準形式。

於是 f 在每一點都可微，而且它的導數正是導數列的極限 g。∎

這張圖在說第三步量的是什麼：兩條線是同兩個函數的割線，都從 c 那一端出發、走到 x。它們的斜率差就是兩個差商的差，而均值定理把這個差換成導數之差在某一點的值，於是被導數列的最大差距一次蓋住。要留意這個上界與 x 停在哪裡無關——圖上把 x 左右滑動，紅線的傾斜幅度都不會超標。

這張圖在說 15.8 那一步的畫面：中心線是 fₙ 的差商，上下兩條虛線圍出寬度 ε 的帶。實心點是 fₘ 的差商（m 逐一往後跑），每一點都落在帶內；帶是閉的，所以它們的極限——也就是 f 的差商——不可能溜到帶外。這正是把估計從「每個 fₘ」轉移到「極限函數 f」的那一步。

這張圖在說最後一步的接力路線：從 f 的差商走到 g(c)，中間停兩站。三段跨距各由一個不同的極限過程負責——第一段是編號 m 的極限（已經對每個 x 一次講完），第二段是 x 靠近 c（只對某個 δ 之內的 x 有效），第三段是編號 n 的極限（只發生在 c 這一點）。次序若反過來先動 x，第二段要用的那個函數還沒挑出來。

—— 中場小憩 ——

證明到此收工：均值定理用兩次，一次釘住函數列，一次釘住差商。倒杯水、把肩膀往後轉兩圈，回來看一個把定理反著讀的例子——如果把均勻收斂加錯地方，會壞在哪裡。

例 1一列處處可微的函數，均勻收斂到不可微的極限

28.5 把均勻收斂押在導數列上。要是押錯地方——函數列均勻收斂、導數列不管——結論會壞成什麼樣子？

造函數列：fₙ(x) = √(x² + 1/n)，定義域取 [−1, 1]。每個 fₙ 都處處可微——根號裡的 x² + 1/n 恆為正，開平方是 §28-2 有理冪的 r = 1/2 情形，再由 §28-2 鏈鎖律接上內層，得
fₙ′(x) = x/√(x² + 1/n)。
收斂是均勻的。把差有理化（分母恆為正數，除得下去）：
|fₙ(x) − |x|| = (1/n)/(fₙ(x) + |x|)，
而 fₙ(x) ≥ √(1/n)，所以這個值不超過 (1/n)/√(1/n) = 1/√n。右邊完全不看 x，因此 ‖fₙ − |x|‖ ≤ 1/√n → 0，17.9 判定均勻收斂。
界是緊的，拿數字對一次：n = 100 時上界是 0.1，而最大的誤差發生在 x = 0，值恰好是 √(1/100) = 0.1。n = 10000 時同理得 0.01。
可是極限不可微：|x| 在 0 沒有導數（§27-1 例 3：右側的差商恆為 1、左側恆為 −1，兩邊對不上）。函數列均勻收斂，可微性照樣掉了。
垮掉的正是 28.5 沒有假設的那一項。導數列 fₙ′(x) = x/√(x² + 1/n) 逐點收斂到「x > 0 給 1、x < 0 給 −1、x = 0 給 0」這個函數，它在 0 跳躍。每個 fₙ′ 都連續（分母恆正），若這個收斂是均勻的，24.1 就會逼出極限連續——所以它不均勻。
也可以直接量。取隨 n 移動的觀察點 x = 1/√n：fₙ′(1/√n) = (1/√n)/√(2/n) = 1/√2 ≈ 0.707，而極限函數在該點的值是 1，差 0.293，對每個 n 都一樣。再讓 x 從右邊趨近 0，差距可以逼近 1，所以最大差距恆為 1。

兩相對照，分工就講完了：均勻收斂加在函數列身上，買到的是連續（24.1），買不到可微；要買可微，均勻收斂必須加在導數列身上（28.5），而那時連函數列的均勻收斂都不必假設，一個點的收斂就夠。第 6 步那個隨 n 移動的觀察點，與 §17-2 例 5 的手法是同一招——找一個跟著編號跑的位置，讓誤差在那裡永遠不縮小。

這張圖在說例 1 的收斂為什麼是均勻的：三條光滑曲線把絕對值的尖角磨圓，n 越大磨得越輕。兩者的落差在 x = 0 最大，恰好是 1/√n，而離開原點之後只會更小——最壞的一點的誤差就這麼多，與 x 無關，這正是均勻的意思。可是不論磨得多輕，磨過的曲線在原點都是平的，而尖角不是。

這張圖在說導數列壞在哪裡：每個 fₙ′ 都是連續的曲線，從 −1 一路升到 1，n 越大升得越陡，可是再陡也是連續地升上去。虛線是它們的逐點極限——在原點左右各是一條水平線，中間硬生生斷開。連續函數的均勻極限必定連續（24.1），而這個極限不連續，所以收斂不可能是均勻的。

—— 第六階段到此結束 ——

本篇的主角是 28.5：導數列均勻收斂、函數列在一個點收斂，兩件事合起來就讓極限可以逐項求導。證明把均值定理用了兩次——一次把函數列的差距換算成導數之差，一次把差商的差換算成導數之差——中間靠 15.8 讓不等式過極限，最後由三段各自獨立的誤差併成結論。例 1 說明假設押在函數列身上是不夠的：磨圓的尖角均勻收斂到絕對值，可微性卻掉了。起來走動一下、喝口水再回來，下一篇把均值定理往高階推：用多項式逼近一個函數，而且誤差寫得出確定的形狀。