§28-3  定位根與數值估計

已知一個函數是誰的導數，能不能反推它的根落在哪裡？而如果只想知道某個數的近似值，均值定理除了給出近似值，還能不能同時交出誤差的上下界？

均值定理的兩種用法：找根與估數

公園裡的鞦韆來回擺盪，小孩每次盪過最低點都會笑一聲。兩聲之間發生了什麼？鞦韆先往一側愈盪愈慢，慢到某一刻整個停在半空，再往回加速。兩次經過最低點之間，一定有一刻是靜止的——這件事不必看錶、也不必量距離，光憑「來回」兩個字就跑不掉。

反過來也一樣：兩次靜止之間，鞦韆一定經過一次最低點。於是「經過最低點」與「靜止」在時間軸上輪流出現，中間不會連著發生兩次同一種。只要位置的變化率就是速度，這種牽制就一定成立，而它跟鞦韆盪得多高、繩子多長完全無關。

本篇還要問另一件事。手邊沒有計算機時，說出「√105 大約是 10.2」不難，難的是接著那一句：這個答案最多錯多少？把「最多錯多少」講清楚比多算幾位小數值錢得多，因為前者是一個保證，後者只是一個數字。

先把用語講定。所謂 f 的根，指的是使 f 的值為零的那些點——「r 是 f 的根」與「f(r) = 0」是同一句話。兩個根相異指的是它們是兩個不同的點，不是「兩個不同的零值」（值都是零，本來就一樣）。本篇的 I 一律指 ℝ 的一個區間，也就是一個「兩點在裡面、夾在中間的每個點也在裡面」的集合。
28.1  APPLICATION
Let f be differentiable at every point of an interval I and put g = f′. Then between any two distinct roots of f there lies at least one root of g.
這一條是把 §27-3 的 27.5 洛爾定理讀成一句實用的話。兩個根就是「兩端的值都是零」，而 27.5 要的前提正是這個形狀——它要求兩端的值是零，不只是相等，這裡剛好一字不差地對上；它交出來的那一點導數為零，換句話說就是 g 的一個根。連續不必另外驗，因為 §27-1 的 27.2（在某一點有導數的函數必定在那一點連續）已經從可微推出來了。「相異」兩個字不能省：兩個根重合時，中間的開區間是空的，一個點都挑不出來，結論當場無從成立；同樣地，f 如果根本不到兩個根，這句話什麼也沒保證。I 必須是區間也不是裝飾——定義域中間破一個洞，兩個根之間就未必整段都在定義域裡，27.5 連前提都寫不下去。這條的力氣全在反過來用：已經知道某個 g 是誰的導數時，f 的根的位置就把 g 的根圈了起來。
正例：f(x) = x² − 1 於 I = ℝ。由 §28-1 的求導四則它處處可微，而 g(x) = f′(x) = 2x。f 的兩個相異根是 −1 與 1，而 g 唯一的根 0 確實落在它們中間。反例：只要在一個點上撤掉可微，結論就整個不見。取 f(x) = |x| − 1 於 I = [−1, 1]，兩個相異根仍然是 −1 與 1，可是它在 0 沒有導數（§27-1 例 3 走過同一條差商）；導數存在的每一點值都是 1 或 −1，兩根之間沒有任何一點的導數為零。
f′(c) = 0 ucv 兩個根之間至少有一個 f′ 的根

這張圖在說 28.1 保證什麼：曲線兩次落到水平線上（那兩點的值都是零），中間不管怎麼拱，紅色那一點的切線必定是水平的，而水平就是導數為零。圖上只畫了一個這樣的點，定理承諾的卻只是「至少一個」——曲線多繞幾次，這種點就會有好幾個，定理不負責指出是哪一個，也不負責算出它的位置。

PROOF

手上的工具有兩件。§27-3 的 27.5 洛爾定理說：a < b、f 在 [a, b] 上連續、在 (a, b) 內可微、而且兩端的值都是零時，(a, b) 內存在一點使導數為零。§27-1 的 27.2 說在某一點有導數的函數必定在那一點連續。前提給的是「I 上處處可微」，而 27.5 要的是「某個閉區間上連續、其內部可微、兩端為零」——中間缺的只有兩格：確認那個閉區間真的躺在 I 裡，以及把可微翻譯成連續。

證明計畫 · 由所求想起
所求是兩個根之間的一點，f′ 在那裡是零。能生出「導數為零」的工具只有 27.5，所以整個證明就是去湊它的四個前提。
第一步：把兩個根排出大小，較小的當左端、較大的當右端，取它們之間的閉區間。
第二步：確認這段閉區間整個落在 I 內，於是 f 在它的每一點都可微。
第三步：用 27.2 把可微換成連續，四個前提到此到齊。
第四步：27.5 交出的那一點導數為零，也就是 g 的根。

Proof.  Let u and v be distinct roots of f, labelled so that u < v. Since I is an interval containing both of them, every point lying between them belongs to I as well; hence the closed interval J = [u, v] is contained in I, and f is differentiable at every point of J.
這一步的所求：一段能送進 27.5 的閉區間。手上只有「兩個相異的根」這五個字，要把它加工成 27.5 收得下的東西。先排大小：兩個根相異就是兩個不同的實數，其中必有一個較小，把它叫做 u、另一個叫做 v，於是 u < v。「相異」在這裡兌現的正是 27.5 的第一個前提 a < b——兩個根若是同一點，這一步就寫不下去，而後面的開區間 (u, v) 也會是空的。接著要確認 J = [u, v] 沒有跑到定義域外面：I 是區間，而區間的意思就是「兩個點在裡面，夾在中間的每個點也在裡面」，所以 u 與 v 之間的每一點都仍在 I 裡。前提說 f 在 I 的每一點都可微，而 J 是 I 的一部分，可微這件事就自動跟著傳到 J 的每一點。拿一組數字走一次：f(x) = x² − 1 於 I = ℝ 的兩個根是 −1 與 1，排好之後 u = −1、v = 1，而 J = [−1, 1] 整段都躺在 ℝ 裡。
By hypothesis f′(x) exists at each x in J, so Lemma 27.2 makes f continuous at each such point, and therefore continuous on J. Its derivative certainly exists on the smaller set (u, v). Finally f(u) = f(v) = 0, because u and v are roots of f. Since u < v as well, all four hypotheses of Rolle's Theorem 27.5 hold on J.
這一步的所求：把 27.5 的四個前提逐條核對完。連續：前一步已經確認 J 上處處可微，而 27.2 是逐點的敘述，在 J 的每一點各套一次，就把「處處可微」升級成「處處連續」，也就是 27.5 要的在閉區間 J 上連續；兩個端點也含在內，因為 27.2 並不要求那一點是內點。內部可微：(u, v) 只是 J 捨掉兩個端點，可微當然還在。兩端為零：這一格是整條定理最省事的地方——27.5 要的是「兩端的值都是零」而不是「兩端的值相等」，而根的意思就是值為零，所以完全不必動任何手腳，不像 27.6 均值定理那樣得先減掉一條直線。u < v：第一步排大小時就拿到了。四格到齊，27.5 可以用了。仍以 f(x) = x² − 1 對照：它在 [−1, 1] 上連續、在 (−1, 1) 內可微，而 f(−1) = 1 − 1 = 0、f(1) = 1 − 1 = 0，四格逐條都對得上。
區間 I 兩端的值都是零 ucv J = [u, v]

這張圖在證這一步真正做了什麼：藍色粗線是被切出來的 J = [u, v]，它整段躺在細線代表的 I 內——靠的是「I 是區間」，兩端在裡面就保證中間也在裡面。曲線在 J 的兩端剛好落到水平線上，那就是 27.5 要的「兩端的值都是零」，於是它交出中間那個切線水平的紅點。

Rolle's Theorem 27.5 therefore produces a point c with u < c < v and f′(c) = 0. Because g = f′, this c is a root of g, and it lies strictly between the two roots of f we started from.
這一步的所求：把 27.5 交回來的東西翻譯成定理要的說法。27.5 給的是「(u, v) 內存在一點 c 使 f′(c) = 0」，而定理裡的 g 依定義就是 f′，所以 f′(c) = 0 與 g(c) = 0 是同一句話，也就是 c 是 g 的根。位置方面，u < c < v 是嚴格的兩個不等號，因此 c 既不是 u 也不是 v，確實落在兩根之間。要留意結論的強度不會超過 27.5：27.5 只承諾至少一個、不承諾唯一、也不交代 c 在哪裡，所以 28.1 也只能承諾這麼多。收尾用數字驗一次：f(x) = x² − 1 的兩根之間，27.5 交出的是 c = 0，而 g(0) = 2·0 = 0，它確實是 g 的根，也確實落在 −1 與 1 之間。
兩個相異的根就是 27.5 要的「兩端的值都是零」，於是它們之間必定夾著至少一個導數的根。∎
同一件事還有一條更短的路。§27-3 的 27.7（整個閉區間上都可微時，均值定理的等式成立、連續不必另外驗）直接給出 f(v) − f(u) = f′(c)(v − u)；左邊兩項都是零，而 u < v 使 v − u ≠ 0，兩邊一除就是 f′(c) = 0。兩條路其實用掉同一件事——連續是由可微供應的，差別只在 27.7 已經把這一步包進去了。

接下來把 28.1 用在一組具體的函數上。這裡會用到正弦與餘弦，但只用到一件事：餘弦是正弦的導數，而正弦的相反數是餘弦的導數——這兩個函數的嚴格定義本篇不需要，也還沒建立，此處明標為借用。順帶借的還有「它們在 ℝ 的每一點都有導數」，那是前一句話的附帶內容。除此之外不會用到它們的任何數值。

例 1正弦與餘弦的根互相交錯
28.1 說 f 的根之間有 f′ 的根。如果兩個函數幾乎互為對方的導數，這句話會變成什麼？
  1. 記 f(x) = sin x、g(x) = cos x，兩者都以 I = ℝ 為定義域。借來的兩件事寫成式子就是 f′ = g 與 g′ = −f。ℝ 是區間，而兩者在它的每一點都有導數，所以 28.1 的前提對兩者都成立。
  2. 第一次套 28.1：把那裡的 f 取成 sin，於是那裡的 g 就是 sin′ = cos。結論是——sin 的任兩個相異根之間，至少有一個 cos 的根。
  3. 角色對調，第二次套 28.1：這次把那裡的 f 取成 cos，它的導數是 −sin。結論是 cos 的任兩個相異根之間，至少有一個 −sin 的根；而 −sin x = 0 與 sin x = 0 是同一句話，所以那就是 sin 的根。
  4. 把話說準一點。設 u < v 是 cos 的兩個根，而它們之間沒有別的 cos 根。由第 3 步，(u, v) 內至少有一個 sin 的根。而它只能有一個：假如有兩個，由第 2 步這兩個之間又得夾一個 cos 的根，那個根會落在 u 與 v 之間，與「它們之間沒有別的 cos 根」牴觸。
  5. 把 sin 與 cos 的角色對調，同一段話原封不動再走一次：相鄰的兩個 sin 根之間，也恰好有一個 cos 的根。
  6. 整段推理都是條件式的。如果其中一個函數的根不到兩個，「任兩個相異根之間」就沒有東西可談，上面每一句都空著手。sin 與 cos 各有無限多個根，可是那件事本篇沒有建立、也不需要——交錯這個結論本身就只在「真的有兩個根」的時候才說話。
兩種根在數線上輪流出現，中間不會擠進同一種的兩個。用掉的工具只有 28.1 套兩次外加一次反證，而正弦與餘弦的具體數值一次都沒有碰到。這正是 28.1 的用法：已知誰是誰的導數，根的位置就互相圈住對方。
兩個實心點之間必有一個空心點 sin 的根 cos 的根

這張圖在說第 4、5 步證出來的是什麼：實心點是 sin 的根、空心圈是 cos 的根，相鄰的兩個同種標記之間必定恰好夾著一個異種標記，於是兩種只能輪流出現。圖上把它們畫成等距的，可是推理完全沒有用到「等距」——28.1 只管順序，不管間隔，也不管這些點各自落在哪個數值上。

28.2估出 √105，並同時交出誤差的上下界
近似值誰都寫得出來。可是「這個近似值最多錯多少」，要拿什麼來擔保？
  1. 令 f(x) = √x，定義域取 (0, ∞)。§28-2 的有理冪定理保證每個非負實數都有唯一的非負平方根（√2 那個特例早在 §6-4 的 6.8 就用完備性造出來了），所以 √105 確實是一個實數，而它就是要估的對象。同一條定理也給出
      f′(x) = (1/2)·x^(−1/2) = 1/(2√x)  （x > 0），
    而 §27-1 例 2 早就從差商硬算過同一個答案，兩條路對得上。
  2. [100, 105] 的每一點都大於零，所以 f 在這段閉區間的每一點（含兩個端點）都有導數——這正是 §27-3 的 27.7 要的前提，連續不必另外驗。於是存在 c，100 < c < 105，使
      √105 − √100 = f′(c)·(105 − 100)，
    也就是
      √105 − 10 = 5/(2√c)。
  3. 接下來完全不必再碰 f，只要框住 √c。先記一件會反覆用到的事，平方根保序：若 0 ≤ s < t 而 √s ≥ √t，兩邊平方就得 s ≥ t，與假設牴觸；所以 s < t 時必定 √s < √t。
  4. 第一輪。由 100 < c < 105 與保序得 10 = √100 < √c < √105；又因為 105 < 121，所以 √105 < √121 = 11。兩段接起來就是 10 < √c < 11。
  5. 分母愈大、商愈小，把上一步倒過來：
      5/(2·11) < 5/(2√c) < 5/(2·10)，
    而中間那一項依第 2 步就是 √105 − 10。左邊是 5/22 = 0.22727…，右邊是 0.25，兩邊各加 10 得
      10.2272 < √105 < 10.2500。
    下界的小數是無條件捨去的：10 + 5/22 = 10.22727…，往下捨只會讓下界更小，所以捨完仍然是一個合法的下界。
  6. 第二輪。上一步順手交出了一份新情報：√105 < 10.25。而 c < 105 配上保序給 √c < √105 < 10.25，比原來那個 11 緊得多。把它代回同一條等式的左邊界：
      5/(2·10.25) < 5/(2√c) = √105 − 10，
    而 5/20.5 = 0.24390…，於是
      10.2439 < √105 < 10.2500。
  7. 兩輪的成果對照一下：第一輪的區間長 0.0228，第二輪只剩 0.0061，縮到不足三分之一，而真正的值 10.24695… 從頭到尾都被關在裡面。上界一步都沒有動，收緊的全是下界——原因很乾脆：新情報改善的是 √c 的上界，而上界那一側靠的是 √c 的下界 10，它從 c > 100 直接得來，這一輪什麼也沒變。
√105 落在 10.2439 與 10.2500 之間。可是這個例子真正的收穫不是那個近似值，而是那一對界。均值定理把誤差寫成了一個確定的形狀——f′(c) 乘上區間長度——於是「估得多準」這個問題被換成了「f′ 在那段區間上跑得多寬」，而後者只要單調性或幾個粗略的比較就框得住。更方便的是這條等式可以反覆餵自己：每拿到一個更好的界，√c 的範圍就更窄，誤差的範圍跟著更窄，想要幾位小數就再走幾輪。
y = √x 切線 割線 100c105

這張圖在說第 2 步把什麼換成了什麼：藍色割線的傾斜程度是 (√105 − 10)/5，也就是我們想知道的那個誤差除以區間長度；均值定理保證中間某一點的切線與它一樣斜，而那一點的斜率寫得出來，是 1/(2√c)。於是「誤差是多少」被換成了「c 落在哪裡」，而 c 雖然算不出來，卻被關在 100 與 105 之間——夠用了。

真正的值 第一輪 第二輪 10.227210.2439 10.2500

這張圖在說兩輪夾擠各買到了什麼：灰色那條是第一輪框出來的區間，藍色那條是把新上界回代之後的第二輪，兩條的右端對齊——上界沒有動，縮短的全來自左邊。紅點是真正的值，兩輪都把它關在條子裡面，這就是「帶誤差界的估計」與「算出一個近似值」的差別。

—— 第三階段到此結束 ——

本篇把 27.5 讀成了一句實用的話：f 的兩個相異根之間必定夾著 f′ 的一個根，而正弦與餘弦互為對方導數這件事一借過來，兩者的根就只能交錯排列。估數那一邊，27.7 把 √105 − 10 寫成 5/(2√c)，於是框住 √c 就等於框住誤差，而剛拿到的上界還可以回頭餵進同一條等式再收緊一次。下一篇要問的是：一條只對自然數指數成立的不等式，換成有理指數還對嗎？先站起來走幾步、把肩膀前後轉一轉，喝口水再回來。