這張圖在說本篇要處理的是什麼局面：兩條曲線在 a 同時落到水平線上，值都是零，所以在 a 那一點的商寫不出來。往右走一點，兩個函數值都不是零了，商 f(x)/g(x) 就是圖上兩段高度的比。問題是這個比在 x 往 a 靠的時候會趨向什麼——圖上看得出答案跟兩條曲線離開 a 時的陡峭程度有關，而「陡峭程度」正是導數。
28.4 APPLICATION
Assume a < b, let f and g be continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), suppose f(a) = g(a) = 0, and require that neither g nor g′ vanishes anywhere on [a, b] except at a. Then f(b)/g(b) = f′(c)/g′(c) for some c with a < c < b. Consequently, should f′(x)/g′(x) tend to a limit L as x decreases to a, the quotient f(x)/g(x) tends to L as well.
這一條把「分子分母同時趨向零」的商換成了導數之比，而換得成的理由完全來自柯西均值定理。敘述其實有兩層：第一層是一條等式——在 a 與 b 之間找得到一點 c，使兩端點決定的商 f(b)/g(b) 恰好等於 c 那一點的導數之比；第二層才是常用的極限形式，它是把第一層對每個靠近 a 的點各用一次的結果。前提裡有兩句話管的是除法能不能做：g 在 a 以外不為零，左邊那個商才寫得出來；g′ 在 a 以外不為零，右邊那個商才寫得出來。還有一件事要看清楚：結論是單側的，x 由右趨近 a。把區間取在 a 的左邊，同一套論證原封不動地給出另一側，兩側合起來才是不限方向的版本。最後，第二層是一支單向的箭頭——導數之比有極限，商就有極限；反過來讀是錯的，而下面的例 1 第 5 格就是現成的反例。
證明計畫 · 由所求想起 所求是一條等式：把兩端同時取到零的商，換成中間某一點的導數之比。能一次處理兩個函數的工具只有 27.8，先把它套在 [a, b] 上。 把 f(a) = g(a) = 0 代進它交出來的等式，兩個中括號各塌掉一項，等式變成兩個乘積相等。 再把乘積換成商，要除兩次：一次除以分母在右端點的值，一次除以分母的導數在見證點的值——兩句「不為零」的前提在這裡各管一次除法。 極限那一半：把右端點換成任何一個靠近 a 的點，同一條等式對每個這樣的點都成立。 最後說明見證點被夾在 a 與那個點之間，於是那個點往 a 靠時見證點也躲不掉，導數之比的極限就過渡成商的極限。
Proof. The hypotheses place f and g exactly in the situation demanded by the Cauchy Mean Value Theorem 27.8 on [a, b], which accordingly yields a point c lying strictly between a and b with f′(c)[g(b) − g(a)] = g′(c)[f(b) − f(a)]. Since f(a) and g(a) are both zero, each bracket loses one term and the identity shortens to f′(c)·g(b) = g′(c)·f(b).
Since b differs from a, the hypothesis on g gives g(b) ≠ 0, so the identity may be divided by g(b). The point c likewise differs from a, whence g′(c) ≠ 0 and a second division is available. Performing both, f(b)/g(b) = f′(c)/g′(c).
這一步的所求：把兩個乘積相等換成兩個商相等。除法要做兩次，而每一次都得有人擔保除數不是零。兩句前提在這裡各兌現一次，位置不同、擋的東西也不同。第一次除以 g(b)：擔保它的是「g 在 a 以外不為零」，而定理一開頭就寫了 a < b，所以 b 與 a 相異、g(b) ≠ 0，左邊的商 f(b)/g(b) 這才寫得出來。第二次除以 g′(c)：擔保它的是「g′ 在 a 以外不為零」，而 27.8 交出來的 c 滿足 a < c < b，特別是 c ≠ a，所以 g′(c) ≠ 0，右邊的商 f′(c)/g′(c) 才有意義。兩句話不能互相頂替：g 的那一句對右邊的除法什麼也沒說，g′ 的那一句也不直接告訴你 g(b) 是多少。仍用剛才那組數字核對：g(3) = 3 ≠ 0、g′ ≡ 1 ≠ 0，兩邊分別是 1/3 與 1/(2 · 3/2) = 1/3，等式對上。
這張圖在證前兩步得到的等式是什麼意思。把每個 x 送到平面上的點 (g(x), f(x))：因為 f(a) = g(a) = 0，x = a 對應的正是原點，所以原點到終點那條割線的斜率恰好就是 f(b)/g(b)——分母分子都不必再減掉起點的值。而柯西均值定理說中間有一點的切線與割線一樣斜，那一點的切線斜率是 f′(c)/g′(c)。兩個斜率相等，就是等式本身。
Nothing in the argument singled out the right endpoint. Let x be any point with a < x ≤ b. Every hypothesis holds on the smaller interval [a, x], so the two steps above furnish a point cₓ obeying a < cₓ < x and f(x)/g(x) = f′(cₓ)/g′(cₓ).
這張圖在證下一步最關鍵的那一句：見證點沒有地方可以躲。三條橫條是三個不同的 x 各自對應的區間 [a, x]，紅點是 27.8 在該區間內交出來的見證點。每個紅點都被關在自己那條橫條裡面，所以橫條一縮短，紅點就只能跟著往左端點移。x 由右趨近 a 時 cₓ 因而也趨近 a——這一步不需要知道 cₓ 究竟是多少，只需要知道它被夾住。
Let ε > 0. Because f′(t)/g′(t) tends to L as t decreases to a, some δ > 0 makes |f′(t)/g′(t) − L| < ε hold for every t with a < t < a + δ. Suppose now that a < x < a + δ and x ≤ b. Then a < cₓ < x < a + δ, so cₓ is one of the admissible t, and the identity of the previous step gives |f(x)/g(x) − L| = |f′(cₓ)/g′(cₓ) − L| < ε. As ε was arbitrary, f(x)/g(x) tends to L as x decreases to a.
這一步的所求：把「導數之比的極限是 L」搬運成「商的極限是 L」。兩者之間的橋就是上一步的等式，可是等式左右兩邊的自變數並不相同——左邊是 x，右邊是 cₓ，所以不能直接把極限套上去了事。整條論證的關鍵只有一句話：cₓ 被夾在 a 與 x 之間，於是 x 一往 a 靠，cₓ 就沒有別的地方可去。寫成 ε 與 δ 的語言是這樣：先用假設「導數之比趨向 L」把 δ 要出來，這個 δ 原本是為導數之比準備的；接著只要 x 落在 a 與 a + δ 之間，由 a < cₓ < x 就得到 cₓ 也落在同一段裡，於是「離 L 不到 ε」這句話對 cₓ 適用；而等式說商就等於那個導數之比，所以商離 L 也不到 ε。請留意 δ 一次也沒有被加工——同一個 δ 對兩邊都夠用，正是因為 cₓ 逃不出 (a, x) 這一段。x ≤ b 那個附帶條件則是簿記：δ 可能大得跑出定義域，把 x 限制在 b 以內，等式才引用得上。
等式那一半來自把兩個零代進 27.8，再由兩句前提各擔保一次除法；極限那一半來自見證點被夾在 a 與 x 之間，因而 x 趨近 a 時它也跟著趨近 a。∎
結論裡的極限是單側的——x 由右趨近 a。左邊那一側不必重寫任何一句：把區間取成 [x, a]（其中 x < a），並要求 f、g 在它上面滿足同樣的前提，27.8 交出來的見證點這回被夾在 x 與 a 之間，其餘每一步一字不改。兩側各自的結論合起來，才是平常口語說的「x 趨近 a 時商趨向 L」。順帶一提，分子分母同時變得很大的那種情形也有相對應的規則，不過它需要另一套論證，本篇不處理，也不在這裡先給敘述。