把這件事搬到數列上：對一條不收斂的數列，先算出前 n 項的平均，再問這條平均數列收不收斂。它常常收斂——而它的極限，就是我們願意指派給原數列的「廣義極限」。這個做法要能站得住腳，得先通過一項檢查：對本來就收斂的數列，它不能給出與原極限不同的答案。本篇的定理處理的正是這件事。
19.2 DEFINITION
Let X = (xₙ) be a sequence in ℝᵖ. The sequence S = (σₙ) defined by σ₁ = x₁, σ₂ = (x₁ + x₂)/2, and in general σₙ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ)/n is called the sequence of arithmetic means of X. If S converges to an element y, then X is said to be Cesàro summable to y, and y is called the (C, 1)-limit of X.
把前 n 項平均起來得到 σₙ，這條新數列叫算術平均數列。它收斂時，就說原數列 Cesàro 可和，極限值叫原數列的 (C, 1)-limit。
正例：常數數列 X = (c, c, c, ⋯) 的每個 σₙ 都是 c，所以它可和到 c——與它的極限一致，這是最低限度的合理性。反例：σₙ不是「第 n 項附近的平均」，而是從第一項算起的平均。第一項的影響永遠不會完全消失，只是被 1/n 稀釋——這一點在下面的證明裡正是關鍵。
要估的是 ‖σₙ − x‖。先把它整理成誤差的平均：因為 n 個 x 相加除以 n 就是 x，所以 σₙ − x = (1/n)[(x₁ − x) + (x₂ − x) + ⋯ + (xₙ − x)]。整個證明就是估計右邊這個平均。
證明計畫 · 由所求想起 所求：n 夠大時整個平均離 x 很近。困難在前面幾項的誤差可能很大，而且它們永遠留在和裡面。 解法是把和拆成兩段：前段的項數是固定的，所以除以 n 之後會被稀釋掉；後段的每一項誤差都已經小於 ε，而它們的項數佔全體的比例不超過 1。兩段各自壓住之後相加。
Proof. Let ε > 0. Since x = lim (xₙ), there is N ∈ ℕ such that ‖xₖ − x‖ < ε for all k ≥ N. Since X is convergent it is bounded by 14.6, so there is a real number A > 0 with ‖xₖ − x‖ ≤ A for every k ∈ ℕ.
這一步的所求：兩個部件。第一個是細界——收斂給的起算點 N，從那裡開始每項的誤差都小於 ε；第二個是粗界A，它對每一項都成立，代價是不夠小。粗界的來源是 §14-3 的 14.6（收斂必定有界）：(xₖ) 有界，減掉固定的 x 之後仍有界。前 N − 1 項只能靠粗界，這是無法避免的。
For n ≥ N, split the sum at k = N and apply the triangle inequality 8.7 repeatedly: ‖σₙ − x‖ ≤ (1/n) Σ_{k < N} ‖xₖ − x‖ + (1/n) Σ_{k = N}^{n} ‖xₖ − x‖ ≤ (N − 1)A/n + ((n − N + 1)/n) ε < (N − 1)A/n + ε.
這一步的所求：把兩段各自壓住。前段有 N − 1 項，每項最多 A，所以總和最多 (N − 1)A，除以 n 得第一項。後段每項小於 ε，項數是 n − N + 1，除以 n 之後係數 (n − N + 1)/n 不超過 1——所以後段整體仍然小於 ε，不會因為項數多而累積起來。這正是取平均的好處：分母跟著項數一起長。三角不等式（§8-2 的 8.7）在這裡用了 n − 1 次，把 n 項的和拆開。
Both N and A are now fixed, so by 6.7 there is M ∈ ℕ with (N − 1)A/n < ε for all n ≥ M. Hence ‖σₙ − x‖ < 2ε for all n ≥ sup {N, M}. As ε > 0 was arbitrary, x = lim (σₙ).