本篇要寫下來的正是這個形狀。§29-1 的分割與加細（分割是 a = x₀ ≤ ⋯ ≤ xₙ = b 這樣一組分點，加細是把別人的分點全部留著、再自己多加幾個）就是那份要求與「在上面加要求」；§29-1 的 29.1 裡中間點的挑法（每個子區間各挑一點 ξₖ 當代表）就是「誰拿尺、什麼時候量」。剩下兩個問題：這句話寫成數學該長什麼樣，以及——如果真有一個數被逼出來，憑什麼只有一個？
先把場地講定。整節通用的前提是 a < b、J = [a, b]，而 f 與 g 都定義在 J 上且有界——這個假設以下不再逐條重述。P、Q 一律指 J 的分割，P ≤ Q 讀作「Q 是 P 的加細」。還有一件事要先提醒：§29-1 的 29.1 的記號 S(P; f, g) 沒有把中間點寫進去，所以它不是一個由 P 唯一決定的數——同一個 P 配不同的中間點會給出不同的值。以下說「S(P; f, g)」，指的一律是對應 P 的任何一個和。
29.2 DEFINITION · g-可積與積分值
Suppose there is a real number I such that to each ε > 0 there corresponds a partition Pε of J with the property that |S(P; f, g) − I| < ε holds for every refinement P of Pε and every Riemann-Stieltjes sum S(P; f, g) belonging to P. Then f is said to be integrable with respect to g on J, and I is written ∫ f dg. Here f is the integrand and g the integrator; when g(x) = x one usually says that f is Riemann integrable.
有三個量詞要照順序讀，讀糊了整個定義就走味。第一層：給定一個 ε > 0，要多小有多小。第二層：交出一個分割 Pε——它可以看著 ε 再挑，ε 越小就交得越細，這是整個定義裡唯一一次自由。第三層：交出去之後，Pε 的每一個加細，配上每一種中間點的挑法，算出來的和都得離 I 不到 ε。第三層裡寫的是「加細」而不是「每一段都夠短」，這是刻意的選擇，下面會說它買到了什麼。至於名字：f 是被積函數，g 叫 integrator；g(x) = x 這一格習慣說 f 是 Riemann 可積。
Proof. Let ε > 0 be given. Since I satisfies 29.2, there is a partition P of J such that every refinement of P and every sum belonging to it satisfy |S − I| < ε. Since I′ satisfies 29.2 as well, there is likewise a partition P′ of J whose refinements all satisfy |S − I′| < ε.
這一步的所求：把兩個候選值各自的保證，變成手上拿得出來的東西。29.2（給一個 ε，就交得出一個分割，讓它的每個加細上的每個和都離候選值不到 ε）對 I 用一次、對 I′ 再用一次，各得到一個見證分割 P 與 P′。要留意這兩份保證的管轄範圍完全不同：P 那一份只在 P 的加細上有效，P′ 那一份只在 P′ 的加細上有效，所以到目前為止，還沒有任何一個和同時被兩邊管到。兩邊用同一個 ε，是因為 ε 是外面給的、兩邊都拿得到，這樣最後兩筆誤差同一個量級，不必再分配一次。
Let Q be the partition of J whose partition points are exactly those of P together with those of P′. Since a refinement is obtained by adding points and never by moving them, Q refines P, and Q refines P′ too.
Choose any Riemann-Stieltjes sum S(Q; f, g) belonging to Q; the intermediate points may be picked in any way. Because Q refines P, the first estimate applies to this sum, and because Q refines P′, so does the second. Hence |S(Q; f, g) − I| < ε and |S(Q; f, g) − I′| < ε.
這一步的所求：一個同時貼近兩個候選值的數。關鍵在於兩次估計用的是同一個和：中間點只挑一次，挑定之後那個數字就固定了，再拿它去對 I 與對 I′ 各量一次距離。若兩邊各挑各的中間點，得到的會是兩個不同的數，下一步的三角不等式就接不起來。中間點怎麼挑不重要（29.2 的第三層對每一種挑法都給了保證），重要的是挑定之後不再更動。到這裡為止，兩份原本互不相干的保證已經落在同一個數上了。
The number ε > 0 was arbitrary, so taking ε = 1/(2n) gives |I − I′| < 1/n for every n ∈ ℕ. Were |I − I′| positive, 6.7(b) would supply an n with 0 < 1/n < |I − I′|, contradicting that inequality. Therefore |I − I′| = 0, that is, I = I′.
回頭驗 29.2：取 I = 0；給定 ε > 0 之後，Pε 隨便交一個都行，例如只有兩個分點的 (a, b)。它的任何加細上的任何和都是 0，而 |0 − 0| = 0 < ε。所以 f 對 g 可積，且 ∫ f dg = 0。
要留意這一路上 f 完全沒有被要求任何事。把 f 取成 §20-4 的 Dirichlet 函數（有理點取 1、無理點取 0，在 ℝ 的每一點都不連續），它對這個常數 g 照樣可積，積分是 0。
對照一下：同一個 Dirichlet 函數，把 g 換成 g(x) = x 就積不出來了。29.2 的定義卡裡那個反例算過——中間點全挑有理數的和是 1、全挑無理數的和是 0，切得再細這兩個數也不動。
兩件事擺在一起就得到本例真正的內容：可積不是 f 一個人的性質，是 f 與 g 之間的一段關係。只問「這個函數可不可積」而不說對誰可積，問題是不完整的。
常數 g 是一個極端的例子，而極端的例子正好把話說死：f 再壞也不妨礙可積，只要 g 那一邊什麼都不動。所以 29.2 裡的 g 不是配角——它與 f 一起決定了答案，也一起決定了答案存不存在。
這張圖在說例 2 為什麼一步都不必估計：g 的圖形是一條水平線，每兩個相鄰分點的高度差都是 0，於是每一項在乘上 f(ξₖ) 之前就已經歸零。f 的值完全沒有機會影響結果——這就是「可積是 f 與 g 兩者的關係」最赤裸的一種情形。
—— 第二階段到此結束 ——
本篇把「越切越細會逼近同一個數」寫成了 29.2：先給 ε、再交出一個分割 Pε、然後它的每一個加細配每一種中間點都得達標，三層缺一不可。唯一性只吃一件事實——任兩個分割都有共同的加細，於是同一個和能同時被兩份保證管到。兩個例子分別把 g 取成最平凡與最不動的兩種，一邊原封不動地還原出 Riemann 積分，一邊說明可積是 f 與 g 的關係而不是 f 單方面的性質。下一篇 §29-3 要把權重集中到幾個點上，看看積分會變成什麼樣子。先站起來走一走、伸展一下肩頸，喝口水再回來。