上一篇算出的 A 是一個合用的倍率，可是例 5 的實測明顯寬鬆：上限 0.0866，實際只用到 0.0583。而且合用的倍率顯然不只一個——任何比 A 大的數也照樣合用。那麼有沒有最小的一個？
要找最小的倍率，先看它在做什麼事：倍率 M 合用，意思是每個 x 的像都不超過 M 倍長。既然線性函數把長度按比例放大，只要看長度不超過 1 的那些點被拉到多長就夠了。
DEFINITION
Let f: ℝᵖ → ℝ^q be linear. Define ‖f‖ = sup {‖f(x)‖ : x ∈ ℝᵖ, ‖x‖ ≤ 1}. The set of all linear functions on ℝᵖ to ℝ^q is written L(ℝᵖ, ℝ^q).
把半徑 1 的球送進 f，量一量像最遠跑到哪裡——那個距離就是 ‖f‖。這個 sup 存在：那個集合非空（x = 0 給出 0），而且被上一篇的 A 界住，於是完備性公理 6.4 交出最小上界。（存在不等於被某個 x 取到——引理談 inf 時會再分這兩件事。）
正例：投影 P(x, y) = (x, 0) 的 ‖P‖ = 1——‖(x, y)‖ ≤ 1 時 ‖P(x, y)‖ = |x| ≤ 1，而 (1, 0) 恰好取到 1。反例：‖x‖ ≤ 1 這個限制不能省——拿掉之後那個集合對任何非零的 f 都無界，因為把 x 放大 t 倍，像就跟著放大 t 倍，根本沒有 sup 可言。
這張圖在說 ‖f‖ 量的是什麼：藍色的橢圓形是半徑 1 的球被送過去之後的樣子，紅色實線圓是裝得下它的最小的球，半徑就是 ‖f‖。灰色虛線圓是上一篇的 A 給的保證——它一定裝得下，但通常留了空隙。像被拉長成不是圓的形狀，正是因為不同方向被放大的倍數不一樣。
LEMMA
(a) For every x ∈ ℝᵖ we have ‖f(x)‖ ≤ ‖f‖ ‖x‖, and ‖f‖ = inf {M > 0 : ‖f(x)‖ ≤ M‖x‖ for all x ∈ ℝᵖ}. (b) L(ℝᵖ, ℝ^q) is a vector space under pointwise addition and scalar multiplication, and f ↦ ‖f‖ is a norm on it.
Proof. (a) If x = 0, then f(x) = 0 and both sides vanish. If x ≠ 0, put u = x/‖x‖, so that ‖u‖ = 1. Homogeneity gives f(u) = f(x)/‖x‖, hence ‖f(x)‖ / ‖x‖ = ‖f(u)‖ ≤ ‖f‖, which is the asserted inequality.
Now let M ∈ S. If ‖x‖ ≤ 1, then ‖f(x)‖ ≤ M‖x‖ ≤ M, so M is an upper bound of the set whose supremum defines ‖f‖; hence ‖f‖ ≤ M. Thus ‖f‖ is a lower bound of S. If ‖f‖ > 0, the first paragraph shows ‖f‖ ∈ S, so ‖f‖ = inf S. If ‖f‖ = 0, the first paragraph forces f(x) = 0 for every x, so every M > 0 belongs to S and inf S = 0 = ‖f‖.
這一步的所求：說明沒有更小的合用者。論證的兩句話用的是同一個工具的兩面——‖f‖ 是最小上界，所以任何上界都不小於它；而每個合用的 M 恰好都是上界（§6-1 的 6.2 就是這樣定義 sup 的）。要留意 S 只收正數，所以零函數得單獨處理：那時 S 是全部的正數，它的 inf 是 0，恰好也是 ‖f‖。
(b) If f, g are linear and c ∈ ℝ, then f + g and cf satisfy the defining equation by direct computation, so L(ℝᵖ, ℝ^q) is closed under the pointwise operations of the function space and is a vector space.
這一步只需要驗封閉性。逐點定義的加法與純量倍在 §8-1 例 2（函數空間 ℝ^S）就已經領過 vector space 的照，所以八條公理不必重驗；要查的只有「兩個線性函數的和還線性嗎」——把定義的等式對 f 與 g 各寫一次再相加即可。§17-3 的 17.8 對有界函數空間走的也是同一條路。
For the norm axioms, let ‖x‖ ≤ 1 throughout. Non-negativity is clear. If ‖f‖ = 0, then part (a) gives f(x) = 0 for every x, and conversely the zero function has norm 0. Next ‖(cf)(x)‖ = |c| ‖f(x)‖, and taking suprema gives ‖cf‖ = |c| ‖f‖. Finally ‖(f + g)(x)‖ ≤ ‖f(x)‖ + ‖g(x)‖ ≤ ‖f‖ + ‖g‖, so ‖f‖ + ‖g‖ is an upper bound and ‖f + g‖ ≤ ‖f‖ + ‖g‖.
四條規格逐條翻譯。三角不等式那一條的模式值得記住：先在每一個x 上把左邊壓住，得到的上限與 x 無關，於是它是整個集合的上界，最小上界自然不超過它。齊次性那一條在 c = 0 時兩邊都是 0，c ≠ 0 時把正的常數提出 sup 之外即可。
最小的合用倍率存在，就是 ‖f‖；而這個記號守得住 norm 的四條規格。∎
這張圖在說 (a) 的第一步做了什麼：x 與 u 在同一條射線上，只差一個正的倍數 ‖x‖。定義只認得虛線圓以內的點，而 u 恰好在圓上；齊次性讓「縮進去再放回來」不留任何痕跡，所以在單位球上得到的結論可以原封搬到全空間。
例 6把倍率算到剛好
A 到底鬆了多少？真正的 ‖f‖ 算得出來嗎？
取 §21-2 例 3 那個映射 f(x, y) = (2x + y, x, −y)。上一篇算得 A = √7 ≈ 2.646。
證明計畫 · 由所求想起 線性：所求是合成滿足定義的等式。把 g 的線性用一次讓係數穿過內層，再把 f 的線性用一次讓係數穿過外層。 倍率：所求是半徑 1 以內的像的一個上界。由外往內剝——先用 (a) 把外層的 f 換成 ‖f‖ 乘上內層的像，再用一次 (a) 把內層的像也換掉。
Proof. The domain of g is all of ℝᵖ and its values lie in ℝ^q, which is the domain of f; so by 2.2 the composition has domain ℝᵖ. For a, b ∈ ℝ and x, y ∈ ℝᵖ, (f∘g)(ax + by) = f(ag(x) + bg(y)) = a f(g(x)) + b f(g(y)), so f∘g is linear.
這一步的所求：合成的線性。兩個等號各用一次線性，次序是先內後外：第一個等號把係數搬過 g，第二個等號把它們搬過 f。定義域那一句不是多餘的——§2-2 的 2.2 規定合成的定義域是「f 吃得下 g 的輸出」的那些點，而這裡 g 的值域整個落在 f 的定義域裡，所以一個點都沒被剔掉，21.1 要求的「定義域是整個 ℝᵖ」才成立。
Now let ‖x‖ ≤ 1. Applying part (a) of the Lemma to f and then to g, ‖f(g(x))‖ ≤ ‖f‖ ‖g(x)‖ ≤ ‖f‖ ‖g‖ ‖x‖ ≤ ‖f‖ ‖g‖. Hence ‖f‖ ‖g‖ is an upper bound of the defining set, and ‖f∘g‖ ≤ ‖f‖ ‖g‖.
這一步的所求：一個與 x 無關的上界。剝的次序是由外而內：第一個不等號把 f 換掉，剩下的 ‖g(x)‖ 又是引理管得到的形狀，第二個不等號把它也換掉。最後一個不等號用掉 ‖x‖ ≤ 1。三步之後右邊完全不含 x，於是它是上界，最小上界不超過它。等號會不會成立，證明本身沒有回答——那要看兩道工序的方向搭不搭。